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5.3 Integración por partes

Se ejemplifica el uso de la técnica de integración por partes para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.3.11

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin\left(\sqrt{x}\right) \cdot dx \end{equation*}


En este caso, el diferencial no se puede completar directamente porque si se define u = \sqrt{x}, se sigue que du = dx / \left(2\,\sqrt{x}\right). Este resultado sugiere multiplicar en el numerador como en el denominador por \sqrt{x} y aplicar la técnica de integración por partes. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int \sin\left(\sqrt{x}\right) \cdot dx  		= \int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)\cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot dx \end{equation*}

Ahora defina u = \sqrt{x}, de manera que du =dx / \left(2\,\sqrt{x}\right), y también dv = \sin\left(\sqrt{x}\right) \cdot dx / \sqrt{x}, de donde, v = - 2\,\cos\left(\sqrt{x}\right). Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin\left(\sqrt{x}\right) \cdot dx 		&=& \int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)\cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot dx	\\ 		&=& -2\,\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right) - \int \frac{- 2\,\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}} \cdot dx\\ 		&=& -2\,\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right) + 2\,\sin\left(\sqrt{x}\right) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.3.12

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x^2\cdot\ln\left\vert x^2\right\vert \cdot dx \end{equation*}


Observe que x^2\,\ln|x^2| = (x/2)\cdot \ln|x^2|\cdot (2\,x\cdot dx). Así que conviene definir: u = x, porque de esta manera, du = dx,
y también, dv = (1/2)\cdot \ln|x^2|\cdot (2\,x\cdot dx). Esto implica que: v = (1/2)\left[x^2\,\ln|x^2| - x^2\right] (vea el ejemplo 5.2.20 ). Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int x^2\cdot\ln\left\vert x^2\right\vert \cdot dx  		&=& -\frac{1}{2}\,x^3 + \frac{1}{2}\,x^3\cdot\ln\left\vert x^2\right\vert  				- \frac{1}{2}\,\int \left[x^2\cdot \ln\left\vert x^2\right\vert - x^2 \right]\cdot dx	\\ 		&=& -\frac{1}{2}\,x^3 + \frac{1}{2}\,x^3\cdot\ln\left\vert x^2\right\vert  				- \frac{1}{2}\,\int x^2\cdot \ln\left\vert x^2\right\vert \cdot dx + \frac{1}{2}\,\int x^2 \cdot dx \end{eqnarray*}

Esto implica,

    \begin{eqnarray*} 	\frac{3}{2}\int x^2\cdot\ln\left\vert x^2\right\vert \cdot dx  		&=& -\frac{1}{2}\,x^3 + \frac{1}{2}\,x^3\cdot\ln\left\vert x^2\right\vert + \frac{x^3}{6} + \hat{C} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} 	\int x^2\cdot\ln\left\vert x^2\right\vert \cdot dx  		= -\frac{2}{9}\,x^3 + \frac{1}{3}\,x^3\,\ln\left\vert x^2 \right\vert + C \end{equation*}



Ejemplo 5.3.13

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin\left(\ln(x)\right) \cdot dx \end{equation*}


Defina u = \sin(\ln(x)), de manera que du = \cos(\ln(x)) \cdot dx / x. Y también, dv = dx, implica v = x. Sustituyendo en la fórmula para aplicar la técnica de integración por partes,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin\left(\ln(x)\right) \cdot dx  		&=& x\cdot \sin\left(\ln(x)\right) - \int x\cdot \frac{\cos\left(\ln(x)\right)}{x} \cdot dx	\\ 		&=& x\cdot \sin\left(\ln(x)\right) - \int \cos\left(\ln(x)\right) \cdot dx \end{eqnarray*}

Para volver a aplicar la técnica de integración por partes, defina: u_{2} = \cos(\ln(x)), lo cual implica: du_{2} = - \sin(\ln(x)) \cdot dx / x. También, si dv_{2} = dx, se sigue que v_{2} = x. entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin\left(\ln(x)\right) \cdot dx  		&=& x\cdot \sin\left(\ln(x)\right) - \int \cos\left(\ln(x)\right) \cdot dx	\\ 		&=& x\cdot \sin\left(\ln(x)\right) - \left[ x\cdot\cos\left( \ln(x) \right)  				+ \int x\cdot \frac{\sin\left(\ln(x)\right)}{x} \cdot dx \right]	\\ 		&=& x\cdot \sin\left(\ln(x)\right) - x\cdot\cos\left( \ln(x) \right) - \int \sin\left( \ln(x) \right) \cdot dx \end{eqnarray*}

Por lo tanto:

    \begin{eqnarray*} 	2\,\int \sin\left(\ln(x)\right) \cdot dx  		&=& x\cdot \sin\left(\ln(x)\right) - x\cdot\cos\left( \ln(x) \right) + \hat{C} 		\qquad \Rightarrow \\ 	\int \sin\left(\ln(x)\right) \cdot dx  	&=& \frac{1}{2}\,x\cdot \sin\left(\ln(x)\right) - \frac{1}{2}\,x\cdot\cos\left( \ln(x) \right) + C \end{eqnarray*}


Ejercicios: Vea las páginas 120 y 121 del documento al que se puede acceder aquí.

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