5.3 Integración por partes

Contenido

1 Ejemplo 5.3.6
2 Ejemplo 5.3.7
3 Ejemplo 5.3.8
4 Ejemplo 5.3.9
5 Ejemplo 5.3.10

Ejemplo 5.3.6

Calcule:

$\begin{equation*} \int e^{-x} \ln\left\vert e^{x} + 1 \right\vert \cdot dx \end{equation*}$

Si $u = \ln\left\vert e^{x} + 1\right\vert$ , se sigue que $du = e^{x} \cdot dx/ \left(e^{x} + 1\right)$ . Además, $dv = e^{-x} \cdot dx$ , y por lo tanto, $v = - e^{-x}$ . Aplicando la técnica de integración por partes, se tiene que:

$\begin{eqnarray*} \int e^{-x} \ln\left\vert e^{x} + 1 \right\vert \cdot dx &=& -e^{-x}\,\ln\left\vert e^{x} + 1 \right\vert - \int \frac{- e^{-x}\cdot e^{x} \cdot dx}{e^{x} + 1}\\ &=& -e^{-x}\,\ln\left\vert e^{x} + 1 \right\vert + \int \frac{dx}{e^{x} + 1} \end{eqnarray*}$

Esta antiderivada se calcula en el ejemplo 5.2.22. Tomando ese resultado, se obtiene:

$\begin{equation*} \int e^{-x} \ln\left\vert e^{x} + 1 \right\vert \cdot dx = -e^{-x}\,\ln\left\vert e^{x} + 1 \right\vert + \ln\left\vert \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \right\vert + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.3.7

Calcule:

$\begin{equation*} \int \mathrm{arccot}(x) \cdot dx \end{equation*}$

Sea $u = \mathrm{arccot}(x)$ , de manera que $du = - dx / \left(1 + x^2 \right)$ . También, $dv = dx$ , por lo que $v = x$ . Así,

$\begin{eqnarray*} \int \mathrm{arccot}(x) \cdot dx &=& x\cdot\mathrm{arccot}(x) + \int \frac{x\cdot dx}{1 + x^2} \\ &=& x\cdot\mathrm{arccot}(x) + \frac{1}{2}\,\int \frac{2\,x\cdot dx}{1 + x^2} \\ &=& x\cdot\mathrm{arccot}(x) + \frac{1}{2}\,\ln\left\vert 1 + x^2 \right\vert + C \\ &=& x\cdot\mathrm{arccot}(x) + \ln\left\vert \sqrt{1 + x^2} \right\vert + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.3.8

Calcule:

$\begin{equation*} \int x\,\arccos(x) \cdot dx \end{equation*}$

Para aplicar la técnica de integración por partes, defina: $u = x$ , de manera que $du = dx$ y también, $dv = \arccos(x) \cdot dx$ , que implica $v = x\,\arccos(x) - \sqrt{1 - x^2}$ . Entonces,

$\begin{eqnarray*} \int x\,\arccos(x) \cdot dx &=& x^2\,\arccos(x) - x\,\sqrt{1 - x^2} - \int\left(x\,\arccos(x) - \sqrt{1 - x^2}\right)\cdot dx \\ &=& x^2\,\arccos(x) - x\,\sqrt{1 - x^2} - \int x\,\arccos(x) \cdot dx + \int \sqrt{1 - x^2} \cdot dx \end{eqnarray*}$

Sumando en ambos lados de la igualdad la cantidad: $\int x\,\arccos(x) \cdot dx$ , se obtiene:

$\begin{equation*} 2\,\int x\,\arccos(x) \cdot dx = x^2\,\arccos(x) - x\,\sqrt{1 - x^2} - \int \sqrt{1 - x^2} \cdot dx \end{equation*}$

Para la última integral que aparece a la derecha, se aplica la siguiente fórmula:

$\begin{equation*} \int \sqrt{a^2 - v^2} \cdot dv = \frac{v}{2}\,\sqrt{a^2 - v^2} + \frac{a^2}{2}\,\arcsin\left(\frac{v}{a}\right) + C \end{equation*}$

para obtener:

$\begin{equation*} 2\,\int x\,\arccos(x) \cdot dx = x^2\,\arccos(x) - x\,\sqrt{1 - x^2} + \frac{x}{2}\,\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\,\arcsin(x) + C_{1} \end{equation*}$

Entonces,

$\begin{equation*} \int x\,\arccos(x) \cdot dx = \frac{x^2}{2}\,\arccos(x) - \frac{x}{4}\,\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{4}\,\arcsin(x) + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.3.9

Aplique la técnica de integración por partes para calcular:

$\begin{equation*} \int \! \sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx \end{equation*}$

Defina $u = \sqrt{a^2 - x^2}$ , y también, $dv = dx$ , por lo cual $du = - x / \sqrt{a^2 - x^2}$ , y también $v = x$ . Sustituyendo de acuerdo con la fórmula de integración por partes,

$\begin{equation*} \int \! \sqrt{a^2 - x^2} = x\cdot \sqrt{a^2 - x^2} - \int \frac{-x^2\cdot dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \end{equation*}$

Ahora observe que $-x^2 = a^2 - x^2 - a^2$ , de manera que se puede escribir:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-x^2\cdot dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} &=& \int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}\cdot dx - a^2\,\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \\ &=& \int\sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx - a^2\,\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \end{eqnarray*}$

Sustituyendo este resultado en el problema inicial, se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx &=& x\cdot \sqrt{a^2 - x^2} -\left[ \int\sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx - a^2\,\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \right] \\ &=& x\cdot \sqrt{a^2 - x^2} - \int\sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx + a^2\,\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \end{eqnarray*}$

Sumando $\int \sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx$ en ambos lados del signo igual, y calculando la antiderivada que aparece en el último término, y finalmente dividiendo ambos lados de la igualdad por 2, se obtiene:

$\begin{eqnarray*} 2\,\int \sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx &=& x\cdot \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\, \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C_{1} \\ \int \sqrt{a^2 - x^2} \cdot dx &=& \frac{1}{2}\,x\cdot \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{4}\, \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.3.10

Calcule:

$\begin{equation*} \int e^{2\,x}\,\cos(3\,x) \cdot dx \end{equation*}$

Sea $u = \cos(3\,x)$ , de donde $du = -3\,\sin(3\,x) \cdot dx$ . Por otra parte, $dv = e^{2x}\cdot dx$ , lo que implica $v = e^{2x} / 2$ . Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se tiene:

$\begin{equation*} \int e^{2\,x}\,\cos(3\,x) \cdot dx = \frac{1}{2}\,e^{2x}\cos(3\,x) + \frac{3}{2}\int e^{2x}\sin(3\,x)\cdot dx \end{equation*}$

La última antiderivada también sugiere utilizar la técnica de integración por partes. Con este fin, defina $\hat{u} = \sin (3\,x)$ , de manera que $d\hat{u} = 3\,\cos(3\,x) \cdot dx$ . También, $d\hat{v} = e^{2x}\cdot dx$ , por lo que, de nuevo, $\hat{v} = e^{2x} / 2$ . Sustituyendo se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \int e^{2\,x}\,\cos(3\,x) \cdot dx &=& \frac{1}{2}\,e^{2x}\cos(3\,x) + \frac{3}{2}\left[ \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3\,x) - \frac{3}{2} \int e^{2x}\cos(3\,x)\cdot dx \right] \\ &=& \frac{1}{2}\,e^{2x}\cos(3\,x) + \frac{3}{4}\, e^{2x}\,\sin(3\,x) - \frac{9}{4} \int e^{2x}\cos(3\,x)\cdot dx \end{eqnarray*}$

Ahora observe que este última antiderivada es un múltiplo de la que se quiere calcular. Por lo tanto, esta igualdad se puede resolver para la antiderivada:

$\begin{eqnarray*} \frac{13}{4}\int e^{2\,x}\,\cos(3\,x) \cdot dx &=& \frac{1}{2}\,e^{2x}\cos(3\,x) + \frac{3}{4}\, e^{2x}\sin(3\,x) + \hat{C} \\ \int e^{2\,x}\,\cos(3\,x) \cdot dx &=& \frac{2}{13}\,e^{2x}\cos(3\,x) + \frac{3}{13}\, e^{2x}\sin(3\,x) + C \\ &=& e^{2x}\left[\frac{2}{13}\,\cos(3\,x) + \frac{3}{13}\, \sin(3\,x) \right] + C \end{eqnarray*}$