5.2 Cambio de variable (sustitución)

Esta técnica de integración consiste en verificar que la regla de la cadena se haya aplicado correctamente. Por la definición de antiderivada, buscamos una función $F (x)$ tal que cuando calculemos su derivada, $F'(x)$ se obtenga la función $f(x)$ que aparece en el integrando.

Por supuesto, cuando se calcula la derivada $F'(x)$ , es necesario aplicar la regla de la cadena. La forma de verificar que ésta se haya aplicado correctamente es ver que el diferencial esté completo.

Contenido

1 Ejemplo 5.2.1
2 Ejemplo 5.2.2
3 Ejemplo 5.2.3
4 Ejemplo 5.2.4
5 Ejemplo 5.2.5

Ejemplo 5.2.1

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{3\,x^{2}}{1 + x^3} \cdot dx \end{equation*}$

Tenga en cuenta que el integrando es una fracción algebraica, donde el numerador es un polinomio de grado 2 y el denominador es otro polinomio de grado 3.

Está claro que la derivada de un polinomio de grado 3 es un polinomio de grado 2. De hecho, en este caso, si $u = 1 + x^3$ , el diferencial es el numerador: $du = 3\,x^2 \cdot dx$ . Entonces, es una integral inmediata:

$\begin{equation*} \int \! \frac{3\,x^{2} \cdot dx}{1 + x^3} = \int \! \frac{du}{u} = \ln |u| + \hat{C} = \ln \left\vert 1 + x^{3} \right\vert + C \end{equation*}$

Observe que en este ejemplo no había necesidad de multiplicar por una constante para completar el diferencial, ya que estaba completo. Cuando esto sucede, decimos que la antiderivada es inmediata. Es decir, la expresión tiene la forma de algunas de las fórmulas de antiderivación y podemos aplicarla de inmediato.

Ejemplo 5.2.2

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{4\,x^3}{\sqrt{1 + x^4}} \cdot dx \end{equation*}$

Observe que el numerador del integrando es igual a la derivada del argumento de la función de raíz cuadrada que se encuentra en el denominador. Así que se define: $u = 1 + x^4$ , para que, $du = 4\,x^3 \cdot dx$ . Usando este cambio de variable,

$\begin{equation*} \int \! \frac{\left[4\,x^3\cdot dx\right]}{\sqrt{1 + x^4}} = \int \! \frac{du}{u^{1/2}} \end{equation*}$

Y aplicando las leyes de exponentes,

$\begin{equation*} \int \! \frac{du}{u^{1/2}} = \int u^{-1/2} \cdot du = \frac{u^{(-1/2) + 1}}{(-1/2) + 1} + \hat{C} = 2\,u^{1/2} + \hat{C} = 2\sqrt{u} + \hat{C} = 2 \sqrt{1 + x^4} + C \end{equation*}$

Es decir,

$\begin{equation*} \int \! \frac{4\,x^3}{\sqrt{1 + x^4}} \cdot dx = 2 \,\sqrt{1 + x^4} + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.2.3

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot dx \end{equation*}$

Primero, observe que el integrando consta de una fracción. La función identidad en el numerador y en el denominador, la función de raíz cuadrada con argumento: $1 + x^2$ .

Dado que la derivada de una función cuadrática es una función lineal, considere el argumento de la función de raíz cuadrada como $u = 1 + x^2$ , para que su diferencial sea: $du = 2\,x \cdot dx$ .

A partir de esto, multiplique por $2 / 2$ para completar el diferencial, dejando el numerador 2 dentro del símbolo integral y el factor $1/2$ fuera:

$\begin{equation*} \int \! \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot dx = \frac{1}{2}\int \! \frac{2\,x\cdot dx }{\sqrt{1 + x^2}} \end{equation*}$

Ahora, haga el cambio de variable:

$\begin{equation*} \frac{1}{2}\int \! \frac{2\,x\cdot dx }{\left(1 + x^2\right)^{1/2}} = \frac{1}{2} \int \left(1 + x^2\right)^{-1/2} \cdot \left[2\,x\cdot dx \right] = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \cdot du \end{equation*}$

Aplicando la regla de la potencia para la antiderivación:

$\begin{equation*} \int v^n \cdot dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1} + C \end{equation*}$

se obtiene:

$\begin{equation*} \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \cdot du = \frac{1}{2} \cdot\frac{u^{1/2}}{(1/2)} + \hat{C} = \sqrt{u} + \hat{C} = \sqrt{1 + x^2} + C \end{equation*}$

Por lo tanto,

$\begin{equation*} \int \! \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot dx = \sqrt{1 + x^2} + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.2.4

Calcule:

$\begin{equation*} \int \cos(2\,x)\cdot dx \end{equation*}$

Dado que la derivada de $F(x) = \sin(2\,x)$ es $F'(x) = 2\cdot \cos(2\,x)$ , reescriba la expresión como:

$\begin{equation*} \int \cos(2\,x)\cdot dx = \frac{1}{2}\int \cos(2\,x)\cdot [2 \cdot dx] \end{equation*}$

Observe que se ha multiplicado por 2 dentro de la integral y por $1/2$ afuera. Esto es equivalente a multiplicar la antiderivada por $2 / 2 = 1$ , para no afectar la expresión. Con esta estrategia, se completa el diferencial dentro del signo de la integral, y si $F'(x) \cdot dx = \cos(2\,x)\cdot [2 \cdot dx]$ , su antiderivada es la función: $F(x) = \sin (2\,x) + C$ , siendo $C$ a constante (porque la derivada de cualquier constante es igual a cero). Entonces,

$\begin{equation*} \int \cos(2\,x)\cdot dx = \frac{1}{2}\int \cos(2\,x)\cdot [2 \cdot dx] = \frac{1}{2}\cdot \sin(2\,x) + C \end{equation*}$

Observe que $F_{2}(x) = \sin(2\,x)$ no es la antiderivada de $f(x) = \cos(2\,x)$ . El problema aquí es que la derivada de $F_{2}(x)$ no es $f(x)$ . La razón: parece que la regla de la cadena no se ha aplicado cuando se ha calculado la derivada de $F_{2}(x)$ . Esto no sucede cuando se considera $F(x) = (1/2)\cdot \sin(2\,x) + C$ . Por lo tanto, esta función es la antiderivada solicitada.

La estrategia en esta técnica de integración es verificar si el diferencial del argumento de una función o de la función misma aparece como un factor en el integrando. De esta forma, estamos verificando que la regla de la cadena se haya aplicado correctamente cuando se calculó la derivada de $F(x)$ (esto es, de la antiderivada).

Ejemplo 5.2.5

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\cdot dx \end{equation*}$

En este caso, considere el argumento de la función para definir $u = \sqrt{x}$ . Calculando su diferencial, se obtiene:

$\begin{equation*} du = dx / \left(2\,\sqrt{x}\right) \end{equation*}$

Entonces se debe multiplicar por $2/2$ , dejando el factor $1/2$ dentro del símbolo integral y el numerador $2$ afuera, para completar el diferencial y obtener una antiderivada inmediata:

$\begin{equation*} 2\,\int \cos(\sqrt{x})\cdot \left[\frac{dx}{2\,\sqrt{x}}\right] = 2\,\int \cos(u) \cdot du = 2\,\sin (u) + \hat{C} = 2\,\sin(\sqrt{x}) + C \end{equation*}$