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5.2 Cambio de variable (sustitución)

Se ejemplifica la técnica de cambio de variable (sustitución) para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.2.36

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x^{1/2} - x^{2/3}}{2\,x^{1/6}} \cdot dx \end{equation*}

definiendo x = u^6.

Este ejercicio se puede resolver fácilmente separándolo en dos fracciones y luego aplicando las leyes de los exponentes. Teniendo en cuenta la sugerencia, dx = 6\,u^{5} \cdot du. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x^{1/2} - x^{2/3}}{2\,x^{1/6}} \cdot dx  		= \frac{1}{2} \, \int \! \frac{u^3 - u^{4}}{u} \cdot \left[ 6\,u^5 \cdot du \right]  		= 3 \, \int \! \frac{u^{8} - u^{9}}{u}\cdot du 		= 3\, \int \left( u^{7} - u^{8} \right) \cdot du \end{equation*}

Calculando la antiderivada:

    \begin{equation*} 	3\, \int \left( u^{7} - u^{8} \right) \cdot du  		= \frac{3}{8}\,u^{8} - \frac{3}{9}\,u^{9} + \hat{C}  \end{equation*}

Cambiando la variable u en términos de x, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x^{1/2} - x^{2/3}}{2\,x^{1/6}} \cdot dx  		= \frac{3}{8}\,x^{8/6} - \frac{1}{3}\,x^{9/6} + C  		= \frac{3}{8}\,x^{4/3} - \frac{1}{3}\,x^{3/2} + C  \end{equation*}



Ejemplo 5.2.37

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{8 - 4\,x^3}} \cdot dx \end{equation*}


Observe que el integrando se puede escribir como:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{8 - 4\,x^3}} \cdot dx  		= \frac{1}{3}\,\int \! \frac{3\,x^{1/2}}{\sqrt{\left(2\,\sqrt{2}\right)^2 - \left(2\,x^{3/2}\right)^2}} \cdot dx  \end{equation*}

Ahora sea u = 2\,x^{3/2}, de manera que du = 3\,x^{1/2}\cdot dx. Por lo tanto, considerando a = 2\,\sqrt{2}, y cambiando la variable se tiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{\sqrt{x} \cdot dx}{\sqrt{8 - 4\,x^3}}  		&=& \frac{1}{3}\,\int \! \frac{3\,x^{1/2} \cdot dx}{\sqrt{\left(2\,\sqrt{2}\right)^2 - \left(2\,x^{3/2}\right)^2}} 	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\int\frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}}	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\arcsin\left(\frac{x^{3/2}}{\sqrt{2}}\right) + C	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\arcsin\left(\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}\right) + C	 \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.38

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\cdot\left(2\,\sqrt{x} + 1\right) \cdot dx \end{equation*}


Defina u = x + \sqrt{x}. A partir de esto,

    \begin{equation*} 	du = \left[ 1 + \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \right] \cdot dx  		= \left[ \frac{2\,\sqrt{x} + 1}{2\,\sqrt{x}} \right] \cdot dx \end{equation*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\cdot\left(2\,\sqrt{x} + 1\right) \cdot dx  		&=& 2\,\int \! \left( x + \sqrt{x} \right)\left[ \frac{2\,\sqrt{x} + 1}{2\,\sqrt{x}} \right] \cdot dx		\\ 		&=& 2\,\int \! u\cdot du  		= u^2 + \hat{C} 		= \left(x + \sqrt{x}\right)^2 + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.39

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x - 3}{\left(x^2 - 2\,x + 3\right)^{3/2}} \cdot dx \end{equation*}


Sea u = x^2 - 2\,x + 3, de manera que, du = (2\,x - 2)\cdot dx. Es conveniente factorizar el número 3 del numerador y escribirlo fuera del símbolo de integración y completar el diferencial:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x - 3}{\left(x^2 - 2\,x + 3\right)^{3/2}} \cdot dx 		= \frac{3}{2}\,\int \! \frac{(2\,x - 2)\cdot dx}{\left(x^2 - 2\,x + 3\right)^{3/2}}  		= \frac{3}{2}\,\int \left(x^2 - 2\,x + 3\right)^{-3/2}\,\left[(2\,x - 2)\cdot dx\right] \end{equation*}

Cambiando la variable, se obtiene,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x - 3}{\left(x^2 - 2\,x + 3\right)^{3/2}} \cdot dx 		= \frac{3}{2}\,\int u^{-3/2}\cdot du 		= \frac{3}{2}\,\frac{u^{-1/2}}{-1/2} + \hat{C} 		= -\frac{3}{\sqrt{x^2 - 2\,x + 3}} + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.40

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\cdot \arctan(x) \cdot dx \end{equation*}


Observe que x^2 = x^2 + 1 - 1, así que se puede escribir:

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\cdot \arctan(x) \cdot dx  		&=&	\int \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1}\cdot \arctan(x) \cdot dx 	\\ 		&=& \int \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1}\cdot \arctan(x) \cdot dx  - \int \frac{\arctan(x) \cdot dx }{x^2 + 1}	\\ 		&=& \int \arctan(x) \cdot dx - \int \arctan(x) \cdot \frac{dx}{x^2 + 1} \end{eqnarray*}

La primera antiderivada se calcula en la unidad de formación 4.11 Antiderivada de funciones trigonométricas inversas. Para la segunda, sea u = \arctan(x), y el diferencial está completo. Con este cambio de variable, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \arctan(x) \cdot \left[\frac{dx}{x^2 + 1}\right] 		= \int u\cdot du  		= \frac{1}{2}\,u^{2} + C 		= \frac{1}{2}\,\arctan^2(x) + C	 \end{equation*}

Entonces, finalmente:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\cdot \arctan(x) \cdot dx  		= x\,\arctan(x) - \frac{1}{2}\,\ln\left\vert x^2 + 1 \right\vert - \frac{1}{2}\,\arctan^2(x) + C	 \end{equation*}


Para adquirir el dominio del cálculo de las antiderivadas es necesario practicar todas las técnicas. Para este propósito, se incluye una lista de ejercicios para que el lector practique la deducción de la antiderivada de funciones dadas.

Recuerde que esto será necesario para el cálculo del valor numérico de la integral definida (para aplicar el teorema fundamental del cálculo).

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