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5.2 Cambio de variable (sustitución)

Se ejemplifica la técnica de cambio de variable (sustitución) para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.2.31

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{x}}{1 + x} \cdot dx \end{equation*}


Defina u = \sqrt{x}, porque de esta manera, x = u^2, y también, dx = 2\,u\cdot du. Cambiando la variable, se sigue que:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{x}}{1 + x} \cdot dx  		= \int \! \frac{u}{1 + u^2} \cdot \left[2\,u\cdot du\right] 		= 2\,\int \! \frac{u^2}{1 + u^2} \cdot du \end{equation*}

Sumando en el numerador 1 - 1 el integrando se puede simplificar de la siguiente manera:

    \begin{equation*} 	2\,\int \! \frac{u^2}{1 + u^2} \cdot du  		= 2\,\int \! \frac{u^2 + 1 - 1}{1 + u^2} \cdot du  		= 2\,\int \! \frac{u^2 + 1}{1 + u^2}\cdot du - 2\,\int \! \frac{du}{1 + u^2} \end{equation*}

Así que se tienen dos antiderivadas inmediatas:

    \begin{equation*} 	2\,\int \! \frac{u^2 + 1}{1 + u^2}\cdot du - 2\,\int \! \frac{du}{1 + u^2} 		= 2\,u - 2\,\arctan(u) + \hat{C} 		= 2\,\sqrt{x} - 2\,\arctan\left(\sqrt{x}\right) + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.32

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \!\frac{x\,\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot dx \end{equation*}


Defina u = \sqrt{x}, de manera que x = u^2, al igual que dx = 2\,u\cdot du. Cambiando la variable:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x\,\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot dx  		= \int \! \frac{u^3}{1 + u}\left[ 2\,u\cdot du \right]  		= 2\,\int \! \frac{u^4}{1 + u} \cdot du \end{equation*}

Aplicando la división larga de fracciones algebraicas, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\frac{u^4}{1 + u} = u^3 - u^2 + u - 1 + \frac{1}{1 + u} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x\,\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot dx  		&=& 2\,\int\!\frac{u^4}{1 + u}\cdot du		\\ 		&=& 2\,\int \left( u^3 - u^2 + u - 1 \right) \cdot du + 2\,\int \! \frac{du}{1 + u} \\ 		&=& \frac{2}{4}\,u^4 - \frac{2}{3}\,u^3 + \frac{2}{2}\,u^2 - 2\,u + 2\,\ln|1 + u| + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,x^2 - \frac{2}{3}\,x^{3/2} + x - 2\,\sqrt{x} + 2\ln\left(1 + \sqrt{x}\right) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.33

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x - x^{3/2}}} \end{equation*}


Exprese el denominador como:

    \begin{equation*} 	\sqrt{x - x^{3/2}} = \sqrt{\left(1 - \sqrt{x}\right)\cdot x} 		= \sqrt{1 - \sqrt{x}} \cdot \sqrt{x} \end{equation*}

Ahora sea u = 1 - \sqrt{x}, de manera que du = -dx / \left( 2\,\sqrt{x} \right). Y cambiando la variable,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x - x^{3/2}}}  		&=& \int \! \frac{dx}{\sqrt{1 - \sqrt{x}} \cdot \sqrt{x}} 	\\ 		&=& -2\,\int \! \frac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{x}}} \cdot \frac{-dx}{2\,\sqrt{x}}	\\ 		&=& -2\,\int u^{-1/2} \cdot du		\\ 		&=& -2\cdot\frac{u^{1/2}}{(1/2)} + \hat{C}	\\ 		&=& -4\,\sqrt{1 - \sqrt{x}} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.34

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x^2 \, \sqrt{1 - x} \cdot dx \end{equation*}


Sea u = 1 - x, de manera que x = 1 - u, y también x^2 = (1 - u)^2, así como, dx = -du. Cambiando la variable se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int x^2 \, \sqrt{1 - x} \cdot dx  		&=& \int (1 - u)^2 \, \sqrt{u} \cdot [-du]	\\ 		&=& - \int \left(1 - 2\,u + u^2\right)\cdot u^{1/2} \cdot du	\\ 		&=& - \int \left( u^{1/2} - 2\,u^{3/2} + u^{5/2} \right) \cdot du	\\ 		&=& -\frac{2}{3}\,u^{3/2} + \frac{4}{5}\,u^{5/2} - \frac{2}{7}\,u^{7/2} + \hat{C}	\\ 		&=& -\frac{2}{3}\,(1 - x)^{3/2} + \frac{4}{5}\,(1 - x)^{5/2} - \frac{2}{7}\,(1 - x)^{7/2} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.35

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x + 2}{\sqrt{x + 1}} \cdot dx \end{equation*}


Observe que 3\,x + 2 = 3\,x + 3 - 1 = 3\,(x + 1) - 1. Así que se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x + 2}{\sqrt{x + 1}} \cdot dx  		= \int \! \frac{3\,x + 3 - 1}{\sqrt{x + 1}} \cdot dx  		= 3 \int \! \frac{x + 1}{\sqrt{x + 1}} \cdot dx - \int\frac{dx}{\sqrt{x + 1}} \cdot dx \end{equation*}

Simplificando se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x + 2}{\sqrt{x + 1}} \cdot dx  		= 3 \int \sqrt{x + 1} \cdot dx - \int(x + 1)^{-1/2}\cdot dx \end{equation*}

Ahora, si u = x + 1, se sigue que dx = du. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x + 2}{\sqrt{x + 1}} \cdot dx  		= 3 \int \! \sqrt{u} \cdot du - \int \! u^{-1/2}\cdot du  		= 3\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} + \hat{C} 		= 2\,(x + 1)^{3/2} - 2\,\sqrt{x + 1} + C \end{equation*}



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