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5.2 Cambio de variable (sustitución)

Se ejemplifica la técnica de cambio de variable (sustitución) para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.2.26

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{2\,x + 3}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \cdot dx \end{equation*}


Observe que si u = x^2 + x + 1, entonces, du = (2\,x + 1) \cdot dx. Luego, conviene escribir: 2\,x + 3 = 2\,x + 1 + 2. A partir de esto,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{2\,x + 3}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \cdot dx  		= \int \! \frac{2\,x + 1 + 2}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \cdot dx  		= \int \! \frac{(2\,x + 1)\cdot dx}{\sqrt{x^2 + x + 1}}  + 2 \cdot \int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + x + 1}}  \end{equation*}

Con un cambio de variable en la primera antiderivada, se obtiene una que es inmediata:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{(2\,x + 1)\cdot dx}{\sqrt{x^2 + x + 1}}  		= \int \! \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{1/2}\cdot du  		= 2\,\sqrt{u} + C_{1}  		= 2\,\sqrt{x^2 + x + 1} + \hat{C}_1 \end{equation*}

La segunda antiderivada se calculó en el ejemplo anterior. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{2\,x + 3}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \cdot dx  		= 2\,\sqrt{x^2 + x + 1} + 2\,\ln\left\vert x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1}\right\vert + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.27

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}}  \end{equation*}


Si u = x^2, se sigue que: du = 2\,x\cdot dx, entonces se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}}  		= \frac{1}{2}\,\int \! \frac{2\,x\cdot dx}{\sqrt{\left(a^2\right)^2 - \left(x^2\right)^2}}  		= \frac{1}{2}\,\int \! \frac{du}{\sqrt{\left(a^2\right)^2 - u^2}}  \end{equation*}

Ahora aplique la fórmula:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + C \end{equation*}

Y se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}} = \frac{1}{2}\,\arcsin\left(\frac{x^2}{a^2} \right) + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.28

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{2\,x^2 + 2\,x + 3}} \end{equation*}


Observe que:

    \begin{equation*} 	2\,x^2 + 2\,x + 3 = \frac{1}{2}\,\left(4\,x^2 + 4\,x + 6\right) \end{equation*}

Por lo que se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{2\,x^2 + 2\,x + 3}}  		= \int \! \frac{dx}{\sqrt{\displaystyle\frac{4\,x^2 + 4\,x + 6}{2}}}  		= \int \! \frac{\sqrt{2} \cdot dx}{\sqrt{4\,x^2 + 4\,x + 6}} \end{equation*}

Ahora, completando el cuadrado en el trinomio, se obtiene:

    \begin{equation*} 	4\,x^2 + 4\,x + 6 = (2\,x + 1)^2 + 5 \end{equation*}

Por lo que,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{2\,x^2 + 2\,x + 3}}  		= \int \! \frac{\sqrt{2} \cdot dx}{\sqrt{(2\,x + 1)^2 + 5}} \end{equation*}

Sea u = 2\,x + 1, de manera que du = 2\cdot dx. Para completar el diferencial, multiplique por 2 dentro del símbolo de integración y por 1/2 afuera:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{2\,x^2 + 2\,x + 3}}  		=  \int \! \frac{\sqrt{2} \cdot dx}{\sqrt{(2\,x + 1)^2 + 5}}  		= \frac{\sqrt{2}}{2} \! \int \! \frac{2 \cdot dx}{\sqrt{(2\,x + 1)^2 + 5}}  		= \frac{\sqrt{2}}{2} \! \int \! \frac{du}{\sqrt{u^2 + \left(\sqrt{5}\right)^2}} \end{equation*}

y aplique la fórmula:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \ln \left\vert u + \sqrt{u^2 + a^2}\right\vert + C \end{equation*}

para obtener:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{2\,x^2 + 2\,x + 3}}  		= \frac{\sqrt{2}}{2} \ln\left\vert 2\,x + 1 + \sqrt{4\,x^2 + 4\,x + 6}  \right\vert + C  \end{equation*}



Ejemplo 5.2.29

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 - x}} \cdot dx \end{equation*}


Multiplique por \sqrt{1 + x}, tanto en el numerador como en el denominador para obtener:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 - x}} \cdot dx  		= \int \! \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot dx  \end{equation*}

Separando en dos antiderivadas,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 - x}} \cdot dx  		= \int \! \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot dx  		= \int \! \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} - \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^2}} \end{equation*}

Para la primera se aplica la siguiente fórmula:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \arcsin(u) + C \end{equation*}

Para la segunda, sea u = 1 - x^2, de manera que du = -2\,x \cdot dx y el diferencial se puede completar multiplicando por -2 dentro del símbolo de integración y dividiendo entre -2 afuera. Es decir,

    \begin{equation*} 	-\frac{1}{2} \! \int \! \frac{-2\,x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^2}}  		= -\frac{1}{2} \! \int \! \frac{du}{\sqrt{u}}  		= -\frac{1}{2} \! \int u^{-1/2} \cdot du  		= -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + \hat{C}_1  		= -\sqrt{u} + \hat{C}_1  		= -\sqrt{1 - x^2} + C_{1} \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 - x}} \cdot dx  		= \int \! \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} - \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^2}}  		= \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.30

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{1 + \sqrt{x}} \end{equation*}


Defina u = \sqrt{x}, de manera que x = u^2, y también, dx = 2\,u\cdot du. Cambiando la variable,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{1 + \sqrt{x}}  		= \int \! \frac{2\,u\cdot du}{1 + u} 		= 2\,\int \! \frac{u + 1 - 1}{1 + u} \cdot du 		= 2\,\int du - 2\,\int \! \frac{du}{1 + u} 		= 2\,u - 2\,\ln|1 + u| + \hat{C} \end{equation*}

Regresando u en términos de x, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{1 + \sqrt{x}}  		= 2\,\sqrt{x} - 2\,\ln\left(1 + \sqrt{x}\right) + C \end{equation*}



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