Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

5.2 Cambio de variable (sustitución)

Se ejemplifica la técnica de cambio de variable (sustitución) para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.2.21

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\left(e^{x} + 1\right)^2}{\sqrt{e^{x}}} \cdot dx \end{equation*}


Es conveniente desarrollar el cuadrado de la expresión que se encuentra en el numerador y luego simplificarla aplicando las leyes de los exponentes:

    \begin{equation*} 		\int \!\frac{e^{2x} + 2\,e^{x} + 1}{e^{x/2}} \cdot dx 		= \int \! \left(e^{3x/2} + 2\,e^{x/2} + e^{-x/2}\right) \cdot dx 		= \int e^{3x/2} \cdot dx + 2\,\int e^{x/2} \cdot dx + \int e^{-x/2} \cdot dx \end{equation*}

Para cada antiderivada, se considera el argumento de cada función exponencial. Por ejemplo, en el primer caso, defina: u = 3\,x / 2, de manera que du = 3\cdot dx / 2 y es posible completar el diferencial. Procediendo de manera similar en los otros casos, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\left(e^{x} + 1\right)^2}{\sqrt{e^{x}}} \cdot dx 		= \int e^{3x/2} \cdot dx + 2\,\int e^{x/2} \cdot dx + \int e^{-x/2} \cdot dx 		= \frac{2}{3}\,e^{3x/2} + 4\,e^{x/2} - 2\,e^{-x/2} + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.22

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{e^{x} + 1}  	\label{eq:IntFracParcialesExponencial} \end{equation*}


Sea u = e^{x}, de manera que, du = e^{x}\cdot dx. Por lo tanto, dx = du / e^{x} = du / u. Aplicando este cambio de variable, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{e^{x} + 1} = \int \! \frac{du}{u\,(u + 1)} \end{equation*}

Ahora observe que:

    \begin{equation*} 	\frac{1}{u\,(u + 1)}  		= \frac{1 + u - u}{u\,(u + 1)}  		= \frac{1 + u}{u\,(1 + u)} - \frac{u}{u\,(u + 1)} 		= \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{e^{x} + 1}  		&=& \int \! \frac{du}{u\,(u + 1)} 	\\ 		&=&  \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}\right) \cdot du 	\\ 		&=& \ln|u| - \ln|u + 1| + \hat{C} 	\\ 		&=& \ln\left\vert \frac{u}{u + 1} \right\vert + \hat{C} 	\\ 		&=& \ln\left\vert \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \right\vert + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.23

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{e^{2x}}{e^{x} + 1} \cdot dx \end{equation*}


Defina u = e^{x}. Entonces, du = e^{x} \cdot dx. Cambiando la variable, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{e^{2x}}{e^{x} + 1} \cdot dx  		= \int \! \frac{e^{x} \cdot \left[e^{x}\cdot dx\right]}{e^{x} + 1}  		= \int \! \frac{u \cdot du}{u + 1} \end{equation*}

Ahora observe que u = u + 1 - 1, por lo que:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{u \cdot du}{u + 1}  		= \int \! \frac{u + 1 - 1}{u + 1} \cdot du 		= \int \! \frac{u + 1}{u + 1} \cdot du - \int \! \frac{du}{u + 1} 		= \int du - \int \! \frac{du}{u + 1} \end{equation*}

Estas son antiderivadas inmediatas:

    \begin{equation*} 		\int du - \int \! \frac{du}{u + 1} 			= u - \ln |u + 1| + \hat{C} \end{equation*}

Cambiando la variable u en términos de x, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{e^{2x}}{e^{x} + 1} \cdot dx = e^{x} - \ln\vert e^{x} + 1\vert + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.24

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{e^{2x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{1/4}} \cdot dx \end{equation*}


Sea u = e^{x} + 1. Entonces, du = e^{x} \cdot dx. Recuerde que: e^{2x} = e^x \cdot e^{x}. Así que se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{e^{2x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{1/4}} \cdot dx  		= \int \! \frac{e^{x} \left[e^{x}\cdot dx\right]}{\left(e^{x} + 1\right)^{1/4}} \end{equation*}

Cambiando la variable, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{e^{2x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{1/4}} \cdot dx  		&=& \int \! \frac{(u - 1)\cdot du}{u^{1/4}}		%\\ 		= \int \! \frac{u}{u^{1/4}} \cdot du - \int \! \frac{du}{u^{1/4}}		\\ 		&=& \int u^{3/4} \cdot du - \int u^{-1/4} \cdot du	%\\ 		= \frac{4}{7} \,u^{7/4} - \frac{4}{3}\,u^{3/4} + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{4}{7} \,\left(e^{x} + 1\right)^{7/4} - \frac{4}{3}\,\left(e^{x} + 1\right)^{3/4} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.25

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \end{equation*}


Completando el cuadrado, se obtiene:

    \begin{equation*} 	x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \end{equation*}

Entonces:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + x + 1}}  		= \frac{dx}{\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}} \end{equation*}

Ahora, sea u = x + \nicefrac{1}{2}, de manera que: dx = du, y también, a = \sqrt{3} / 2. Aplicando la fórmula:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \ln\left\vert u + \sqrt{u^2 + a^2}\right\vert \end{equation*}

se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + x + 1}}  		= \ln\left\vert x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1}\right\vert + C \end{equation*}



VER TODO Add a note
Añadir tu comentario
A+
X