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5.2 Cambio de variable (sustitución)

Se ejemplifica la técnica de cambio de variable (sustitución) para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.2.16

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7}  	\label{eq:05pg154N11} \end{equation*}


Multiplique el integrando por 3/3 para obtener:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7}  		= \int \! \frac{3 \cdot dx}{9\,x^2 + 12\,x + 21}  \end{equation*}

Y completando cuadrados en el denominador del integrando, 9\,x^2 + 12\,x + 21 = (3\,x + 2)^2 + 17, así que

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7}  		= \int \! \frac{3 \cdot dx}{(3\,x + 2)^2 + 17} \end{equation*}

Ahora sea: u = 3\,x + 2, de manera que du = 3\cdot dx, y el diferencial está completo. Por lo tanto:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7}  		&=& \int \! \frac{3 \cdot dx}{(3\,x + 2)^2 + \left(\sqrt{17}\right)^2} 	%\\ 		= \int \! \frac{du}{u^2 + \left(\sqrt{17}\right)^2} 	\\ 		&=& \frac{1}{\sqrt{17}}\,\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{17}}\right) + \hat{C}	%\\ 		= \frac{\sqrt{17}}{17}\,\arctan\left(\frac{3\,x + 2}{\sqrt{17}}\right) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.17

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{(\arctan(x))^{2}}{1 + x^2} \cdot dx \end{equation*}


Puesto que la derivada de \arctan(x) es 1/(1 + x^{2}), se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{(\arctan(x))^{2}}{1 + x^2} \cdot dx  		= \int (\arctan(x))^{2}\cdot \left[\frac{dx}{1 + x^2}\right] \end{equation*}

Ahora defina: u = \arctan(x), de manera que du = dx / (1 + x^{2}), y el diferencial está completo. Consecuentemente:

    \begin{equation*} 	\int (\arctan(x))^{2}\cdot \left[\frac{dx}{1 + x^2}\right] 		= \int u^{2} \cdot du 		= \frac{u^{3}}{3} + \hat{C} 		= \frac{1}{3}\,(\arctan(x))^3 + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.18

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\cos^2(x)\,\sqrt{1 + \tan(x)}} \end{equation*}


En este caso, se requiere el uso de identidades trigonométricas para expresar el integrando como una antiderivada inmediata. Dado que la función secante es el recíproco de la función coseno, se sigue que:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\cos^2(x)\,\sqrt{1 + \tan(x)}} = \int \! \frac{\sec^2(x)\cdot dx}{\sqrt{1 + \tan(x)}} \end{equation*}

Recuerde que la derivada de la función tangente es el cuadrado de la función secante. Por lo que si u = 1 + \tan(x), se tiene que du = \sec^2(x) \cdot dx, y la expresión es una antiderivada inmediata. Cambiando la variable,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{\cos^2(x)\,\sqrt{1 + \tan(x)}}  		&=& \int \! \frac{\sec^2(x)\cdot dx}{\sqrt{1 + \tan(x)}}	 		= \int \! \frac{du}{\sqrt{u}} 	\\ 		&=&	\int u^{-1/2} \cdot du	 		= \frac{u^{1/2}}{1/2} + \hat{C}	 		= 2\sqrt{1 + \tan(x)} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.2.19

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\left[\ln(x)\right]^{3} }{x} \cdot dx \end{equation*}


Puesto que la derivada de la función u = \ln (x) es u'(x) = 1/x, el diferencial correspondiente es: du = dx / x, y esta antiderivada es inmediata:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\left(\ln(x)\right)^{3}}{x} \cdot dx 		= \int \left(\ln(x)\right)^{3} \cdot \left[\frac{dx}{x}\right]  		= \int u^{3} \cdot du  		= \frac{u^{4}}{4} + \hat{C}  		= \frac{1}{4}\cdot \left[\ln(x)\right]^{4} + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.20

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x \cdot \ln|x^2| \cdot  dx \end{equation*}


Sea u = x^2 , de manera que du = 2\,x \cdot dx. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int x \cdot \ln|x^2| \cdot  dx 		&=& \frac{1}{2}\,\int \ln|x^2| \cdot [2\,x \cdot dx] 		= \frac{1}{2}\,\int \ln|u| \cdot du			\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\left(u\,\ln(u) - u\right) + \hat{C} 		= \frac{1}{2}\,x^2 \left(\ln\left\vert x^2 \right\vert - 1\right) + C \end{eqnarray*}



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