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5.2 Cambio de variable (sustitución)

Se ejemplifica la técnica de cambio de variable (sustitución) para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.2.6

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin^{4}(x) \cdot \cos(x) \cdot dx \end{equation*}


Aquí conviene definir u = \sin(x) porque de esta manera, el diferencial es: du = \cos(x) \cdot dx, y la antiderivada es inmediata.

    \begin{equation*} 	\int \sin^{4}(x) \cdot \left[\cos(x) \cdot dx \right] 		= \int u^{4} \cdot du 		= \frac{u^{5}}{5} + \hat{C} 		= \frac{1}{5}\,\sin^{5}(x) + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.7

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int e^{2\,\sin(x)} \cdot \cos(x) \cdot dx \end{equation*}


El argumento de la función exponencial es el doble de la función seno y, a la derecha de la función exponencial, la función coseno aparece como un factor. Dado que la derivada de la función seno es la función coseno, es conveniente definir u = 2\,\sin(x) porque de esta manera, el diferencial es: du = 2\,\cos(x) \cdot dx, y el diferencial puede completarse multiplicando por 2/2 dejando el 2 en el numerador dentro del símbolo de integración y el otro afuera:

    \begin{equation*} 	\int e^{2\,\sin(x)} \cdot \cos(x) \cdot dx  		= \frac{1}{2}\,\int e^{2\,\sin(x)} \cdot \left[2\,\cos(x) \cdot dx\right]  		= \frac{1}{2}\,\int e^{u}\cdot du  		= \frac{1}{2}\,e^{u} + \hat{C} 		= \frac{1}{2}\,e^{2\,\sin(x)} + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.8

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x + 1}{3\,x - 1} \cdot dx \end{equation*}


Observe que 3\,x + 1 = 3\,x - 1 + 2, por lo que el integrando se puede expresar de la siguiente manera:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x + 1}{3\,x - 1} \cdot dx  		= \int \! \frac{3\,x - 1 + 2}{3\,x - 1} \cdot dx  		= \int \! \frac{3\,x - 1}{3\,x - 1} \cdot dx + 2\, \int \! \frac{dx}{3\,x - 1} \end{equation*}

La primera antiderivada es inmediata. Para la segunda, se define u = 3\,x - 1, de donde du = 3\cdot dx. Para completar el diferencial, multiplique por 3/3, dejando el numerador 3 dentro del símbolo de integración y el otro afuera:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x + 1}{3\,x - 1} \cdot dx  		%= \int \! \frac{3\,x - 1 + 2}{3\,x - 1} \cdot dx  		= \int \! dx + \frac{2}{3}\, \int \! \frac{3\cdot dx}{3\,x - 1} 		= x + \frac{2}{3} \int \! \frac{du}{u} 		= x + \frac{2}{3} \, \ln(u) + \hat{C} 		= x + \frac{2}{3} \, \ln\vert 3\,x - 1\vert + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.9

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x^2 + 4\,x + 1} \end{equation*}


Lo primero que hay que hacer es completar cuadrados en el denominador porque así el integrando tendrá la forma de una de las fórmulas conocidas:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x^2 + 4\,x + 1} = \int \! \frac{dx}{(x + 2)^2 - 3} \end{equation*}

Ahora aplique la fórmula:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2\,a}\,\ln\left\vert \frac{u - a}{u + a} \right\vert + C \end{equation*}

donde u = x + 2, y a = \sqrt{3} para obtener:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x^2 + 4\,x + 1}  		= \int \! \frac{dx}{(x + 2)^2 - 3}  		= \frac{1}{2\,\sqrt{3}}\,\ln\left\vert \frac{x + 2 - \sqrt{3}}{x + 2 + \sqrt{2}}\right\vert + C \end{equation*}



Ejemplo 5.2.10

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x - 4}{(x + 2)^{2}} \cdot dx \end{equation*}


Observe que 3\,x - 4 = 3\,x + 6 - 10 = 3\,(x + 2) - 10. Por lo que,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x - 4}{(x + 2)^{2}} \cdot dx  		= \int \! \frac{3\,(x + 2) - 10}{(x + 2)^{2}} \cdot dx  		%= 3\,\int \! \frac{x + 2}{(x + 2)^{2}} \cdot dx  - 10 \,\int \! \frac{dx}{(x + 2)^{2}} \end{equation*}

Separando en dos antiderivadas y simplificando los integrandos para representarlos de modo que sean antiderivadas inmediatas, se obtiene:

    \begin{equation*} 	%\int \! \frac{3\,x - 4}{(x + 2)^{2}} \cdot dx  		\int \! \frac{3\,(x + 2) - 10}{(x + 2)^{2}} \cdot dx  		= 3\,\int \! \frac{x + 2}{(x + 2)^{2}} \cdot dx - 10 \,\int \! \frac{dx}{(x + 2)^{2}} 		= 3\,\int \! \frac{dx}{x + 2} - 10 \,\int (x + 2)^{-2}\cdot dx \end{equation*}

Al aplicar las reglas de antiderivación correspondientes, resulta:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x - 4}{(x + 2)^{2}} \cdot dx  		= 3\,\ln (x + 2) + \frac{ 10}{x + 2} + C \end{equation*}



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