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5.1 Integrales inmediatas

Se ejemplifica el cálculo de antiderivadas inmediatas.
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En esta sección se dan algunos ejemplos de la aplicación de las fórmulas para calcular antiderivadas inmediatas de funciones.

Ejemplo 5.1.1

Calcule:

    \begin{equation*} \int 3\, (x^2 + 6)^2 \cdot dx \end{equation*}


El binomio cuadrado debe desarrollarse para obtener una expresión integrable de inmediato:

    \begin{eqnarray*} \int 3\, (x^2 + 6)^2 \cdot dx &=& 3\,\int\left(x^4 + 12\,x^2 + 36\right)\cdot dx \\ &=& 3\,\int x^4 \cdot dx + 36\,\int x^2 \cdot dx + 108\,\int dx\\ &=& \frac{3}{5}\,x^5 + \frac{36}{3}\,x^3 + 108\,x + C \\ &=& \frac{3}{5}\,x^5 + 12\,x^3 + 108\,x + C \end{eqnarray*}

Ejemplo 5.1.2

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{x \cdot dx}{x + 1} \end{equation*}


Observe que x = x + 1 - 1. Entonces,

    \begin{equation*} \int \! \frac{x \cdot dx}{x + 1} = \int \! \frac{x + 1 - 1}{x + 1} \cdot dx = \int \! \frac{x + 1}{x + 1} \cdot dx - \int \! \frac{dx}{x + 1} = \int\! dx - \ln(x + 1) + \hat{C} = x - \ln(x + 1) + C \end{equation*}

Ejemplo 5.1.3

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \left(\frac{1 + x}{x}\right)^{2} \cdot dx \end{equation*}


En este caso, primero se debe desarrollar las operaciones indicadas para expresar el integrando como una antiderivada inmediata:

    \begin{equation*} \int \! \left(\frac{1 + x}{x}\right)^{2} \cdot dx = \int \frac{(1 + x)^{2}}{x^{2}} \cdot dx = \int \frac{1 + 2\,x + x^{2}}{x^{2}} \cdot dx = \int \! \left(\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x} + 1 \right)\cdot dx \end{equation*}

Separando en tres antiderivadas y expresando con exponente negativo el integrando de la primera antiderivada, se obtiene:

    \begin{equation*} \int \! \left(\frac{1 + x}{x}\right)^{2} \cdot dx = \int x^{-2} \cdot dx + 2\,\int \frac{dx}{x} + \int dx \end{equation*}

Ahora se aplica la regla que corresponde a cada caso:

    \begin{equation*} \int \! \left(\frac{1 + x}{x}\right)^{2} \cdot dx = \int x^{-2} \cdot dx + 2\,\int \frac{dx}{x} + \int dx = \frac{x^{-1}}{-1} + 2\,\ln\vert x\vert + x + C \end{equation*}

Simplificando la expresión, se obtiene:

    \begin{equation*} \int \! \left(\frac{1 + x}{x}\right)^{2} \cdot dx = -\frac{1}{x} + 2\,\ln\vert x\vert + x + C \end{equation*}

Ejemplo 5.1.4

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \sqrt{x} \cdot dx \end{equation*}


El integrando es la función de raíz cuadrada. Pero no existe una fórmula que nos permita calcular su antiderivada. Sin embargo, al expresar la raíz como un exponente fraccionario, es posible calcularlo. Recuerde que \sqrt{x} = x^{1/2}. Entonces,

    \begin{equation*} \int \! \sqrt{x} \cdot dx = \int x^{1/2} \cdot dx \end{equation*}

Ahora, aplique la fórmula

    \begin{equation*} \int u^n \cdot du = \frac{u^{n+1}}{n + 1} + C \end{equation*}

que corresponde a la regla de la potencia. Con esto se obtiene:

    \begin{equation*} \int \! \sqrt{x} \cdot dx = \int x^{1/2} \cdot dx = \frac{x^{3/2}}{\nicefrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\, x^{3/2} + C \end{equation*}

Ejemplo 5.1.5

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{2\,\sqrt{x}} \end{equation*}


En este caso, es necesario calcular una función cuya derivada es f(x) = 1 / (2 \, \sqrt{x}). Si F(x) = \sqrt{x} + C, siendo C cualquier constante, y = F(x) satisface lo que se solicita:

    \begin{equation*} F(x) = \sqrt{x} + C \qquad\Rightarrow\qquad F'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \qquad\Rightarrow\qquad \int \! \frac{dx}{2\,\sqrt{x}} = \sqrt{x} + C \end{equation*}

Para resolverlo sistemáticamente, aplicando la regla de potencia para las antiderivadas, la raíz se expresa como un exponente fraccionario, como sigue:

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{2\,\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\,\int \frac{dx}{x^{1/2}} = \frac{1}{2}\,\int x^{-1/2}\cdot dx \end{equation*}

Ahora podemos aplicar la regla de la potencia para antiderivadas:

    \begin{equation*} \frac{1}{2}\,\int x^{-1/2}\cdot dx = \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{(-1/2) + 1}}{(-1/2) + 1} + C = \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C \end{equation*}


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