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5.1 Integrales inmediatas

Se ejemplifica el cálculo de antiderivadas inmediatas.


Tenga en cuenta que cuando el integrando no tiene la forma similar a alguna de las fórmulas conocidas para las antiderivadas, es necesario un tratamiento algebraico de la expresión para poder expresar el integrando para que se pueda calcular su antiderivada.

Ejemplo 5.1.6

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{\left(1 + \sqrt{x}\right)^{3}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx \end{equation*}


Similar al caso anterior, eleve la expresión entre paréntesis a la tercera potencia y luego simplifique con el denominador aplicando las leyes de los exponentes:

    \begin{equation*} \int \frac{\left(1 + \sqrt{x}\right)^{3}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx = \int \frac{1 + 3\,x + 3\,\sqrt{x} + x^{3/2}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx = \int \!\left( x^{-1/3} + 3\,x^{2/3} + 3\, x^{1/6} + x^{7/6} \right) \cdot dx \end{equation*}

Separando en cuatro antiderivadas y aplicando la regla de la potencia en cada caso, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} \int \frac{\left(1 + \sqrt{x}\right)^{3}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx &=& \int \!\left( x^{-1/3} + 3\,x^{2/3} + 3\, x^{1/6} + x^{7/6} \right) \cdot dx \\ &=& \int \! x^{-1/3} \cdot dx + 3\,\int \!x^{2/3} \cdot dx + 3\,\int \!x^{1/6} \cdot dx + \int \!x^{7/6} \cdot dx \\ &=& \frac{3}{2}\,x^{2/3} + \frac{9}{5}\,x^{5/3} + \frac{18}{7}\,x^{7/6} + \frac{6}{13}\,x^{13/6} + C \end{eqnarray*}

Ejemplo 5.1.7

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \cdot dx \end{equation*}


Tenga en cuenta que en el integrando puede reescribirse como:

    \begin{equation*} \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot \frac{1}{\cos(x)} = \tan(x) \cdot \sec(x) \end{equation*}

y la antiderivada de esta función ya se conoce. Entonces,

    \begin{equation*} \int \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \cdot dx = \int \tan(x) \, \sec(x) \cdot dx = \sec (x) + C \end{equation*}

Ejemplo 5.1.8

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{\sin(x)\cos(x)} \end{equation*}


Recuerde que \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1. Por lo tanto, se puede escribir:

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{\sin(x)\cos(x)} = \int \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx \end{equation*}

Separando en dos antiderivadas, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} \int \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx &=& \int \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx + \int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx \\ &=& \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot dx + \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot dx \\ &=& \int \tan(x)\cdot dx + \int \cot(x) \cdot dx \\ &=& - \ln\left\vert \cos(x) \right\vert + \ln\left\vert \sin(x) \right\vert + C \\ &=& \ln \left\vert \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right\vert + C \\ &=& \ln\left\vert \tan(x) \right\vert + C \end{eqnarray*}

Ejemplo 5.1.9

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{x\,(x + 1)} \label{eq:IntFracParcialesTrucoRuso1} \end{equation*}


Observe que:

    \begin{equation*} \frac{1}{x\,(x + 1)} = \frac{1 + x - x}{x\,(x + 1)} = \frac{1 + x}{x\,(1 + x)} - \frac{x}{x\,(1 + x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1 + x} \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{x\,(x + 1)} = \int \left[\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right] \cdot dx = \ln|x| - \ln\left\vert x + 1 \right\vert + C = \ln\left\vert \frac{x}{x + 1} \right\vert + C \end{equation*}

Ejemplo 5.1.10

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{e^{x} + 1} \label{eq:IntFracParcialesExponencialInmediata} \end{equation*}


Observe que

    \begin{equation*} \frac{1}{e^{x} + 1} = \frac{1 + e^{x} - e^{x}}{1 + e^{x}} = \frac{1 + e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} = 1 - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{e^{x} + 1} = \int \left[1 - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}\right] \cdot dx = x - \ln\left\vert 1 + e^{x} \right\vert + C \end{equation*}

Por la forma en que se define la antiderivada, cada resultado se puede verificar calculando la derivada de cada antiderivada, y se debe obtener la función que aparece en el integrando, o una expresión equivalente a ella.

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