5.1 Integrales inmediatas

Tenga en cuenta que cuando el integrando no tiene la forma similar a alguna de las fórmulas conocidas para las antiderivadas, es necesario un tratamiento algebraico de la expresión para poder expresar el integrando para que se pueda calcular su antiderivada.

Contenido

1 Ejemplo 5.1.6
2 Ejemplo 5.1.7
3 Ejemplo 5.1.8
4 Ejemplo 5.1.9
5 Ejemplo 5.1.10

Ejemplo 5.1.6

Calcule:

$\begin{equation*} \int \frac{\left(1 + \sqrt{x}\right)^{3}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx \end{equation*}$

Similar al caso anterior, eleve la expresión entre paréntesis a la tercera potencia y luego simplifique con el denominador aplicando las leyes de los exponentes:

$\begin{equation*} \int \frac{\left(1 + \sqrt{x}\right)^{3}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx = \int \frac{1 + 3\,x + 3\,\sqrt{x} + x^{3/2}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx = \int \!\left( x^{-1/3} + 3\,x^{2/3} + 3\, x^{1/6} + x^{7/6} \right) \cdot dx \end{equation*}$

Separando en cuatro antiderivadas y aplicando la regla de la potencia en cada caso, se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\left(1 + \sqrt{x}\right)^{3}}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx &=& \int \!\left( x^{-1/3} + 3\,x^{2/3} + 3\, x^{1/6} + x^{7/6} \right) \cdot dx \\ &=& \int \! x^{-1/3} \cdot dx + 3\,\int \!x^{2/3} \cdot dx + 3\,\int \!x^{1/6} \cdot dx + \int \!x^{7/6} \cdot dx \\ &=& \frac{3}{2}\,x^{2/3} + \frac{9}{5}\,x^{5/3} + \frac{18}{7}\,x^{7/6} + \frac{6}{13}\,x^{13/6} + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.1.7

Calcule:

$\begin{equation*} \int \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \cdot dx \end{equation*}$

Tenga en cuenta que en el integrando puede reescribirse como:

$\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot \frac{1}{\cos(x)} = \tan(x) \cdot \sec(x) \end{equation*}$

y la antiderivada de esta función ya se conoce. Entonces,

$\begin{equation*} \int \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \cdot dx = \int \tan(x) \, \sec(x) \cdot dx = \sec (x) + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.1.8

Calcule:

$\begin{equation*} \int \frac{dx}{\sin(x)\cos(x)} \end{equation*}$

Recuerde que $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ . Por lo tanto, se puede escribir:

$\begin{equation*} \int \frac{dx}{\sin(x)\cos(x)} = \int \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx \end{equation*}$

Separando en dos antiderivadas, se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx &=& \int \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx + \int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \cdot dx \\ &=& \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot dx + \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot dx \\ &=& \int \tan(x)\cdot dx + \int \cot(x) \cdot dx \\ &=& - \ln\left\vert \cos(x) \right\vert + \ln\left\vert \sin(x) \right\vert + C \\ &=& \ln \left\vert \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right\vert + C \\ &=& \ln\left\vert \tan(x) \right\vert + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.1.9

Calcule:

$\begin{equation*} \int \frac{dx}{x\,(x + 1)} \label{eq:IntFracParcialesTrucoRuso1} \end{equation*}$

Observe que:

$\begin{equation*} \frac{1}{x\,(x + 1)} = \frac{1 + x - x}{x\,(x + 1)} = \frac{1 + x}{x\,(1 + x)} - \frac{x}{x\,(1 + x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1 + x} \end{equation*}$

Por lo tanto,

$\begin{equation*} \int \frac{dx}{x\,(x + 1)} = \int \left[\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right] \cdot dx = \ln|x| - \ln\left\vert x + 1 \right\vert + C = \ln\left\vert \frac{x}{x + 1} \right\vert + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.1.10

Calcule:

$\begin{equation*} \int \frac{dx}{e^{x} + 1} \label{eq:IntFracParcialesExponencialInmediata} \end{equation*}$

Observe que

$\begin{equation*} \frac{1}{e^{x} + 1} = \frac{1 + e^{x} - e^{x}}{1 + e^{x}} = \frac{1 + e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} = 1 - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \end{equation*}$

Entonces,

$\begin{equation*} \int \frac{dx}{e^{x} + 1} = \int \left[1 - \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}\right] \cdot dx = x - \ln\left\vert 1 + e^{x} \right\vert + C \end{equation*}$

Por la forma en que se define la antiderivada, cada resultado se puede verificar calculando la derivada de cada antiderivada, y se debe obtener la función que aparece en el integrando, o una expresión equivalente a ella.

Ejercicios: Vea la página 93 del documento al que se puede acceder aquí.

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