Hasta aquí se ha dicho que la expresión

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx \end{equation*}$

representa la suma de una cantidad infinita de infinitesimales, pero no se ha dado ninguna pista sobre cómo calcular su valor numérico. Para obtenerlo, suponga que $y = F (x)$ es la antiderivada de $y = f(x)$ , de modo que $F'(x) = f(x)$ . Así,

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx = \int\limits_{a}^{b} F'(x)\cdot dx \end{equation*}$

Para obtener el valor numérico de la suma de todos los diferenciales de la forma $F'(x)\cdot dx$ desde $x = a$ hasta $x = b$ , aplique el postulado de Leibniz, $F'(x)\cdot dx = F(x + dx) - F(x)$ , y varíe $x$ desde $a$ hasta $b$ en esta expresión para obtener una cantidad infinita de diferenciales de la forma $F(x + dx) - F(x)$ , como sigue:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx = \int\limits_{a}^{b} F'(x)\cdot dx &=& F(a + dx) - F(a) + \\ && + F(a + 2\,dx) - F(a + dx) + \\ && + F(a + 3\,dx) - F(a + 2\,dx) + \\ && + F(a + 4\,dx) - F(a + 3\,dx) + \\ && \qquad\qquad\qquad\vdots \\ && + F(b - 2\,dx) - F(b - 3\,dx) + \\ && + F(b - dx) - F(b - 2\,dx) + \\ && + F(b) - F(b - dx) \end{eqnarray*}$

Tenga en cuenta que, dado que se trata de una suma telescópica, excepto $-F (a)$ y $F (b)$ , todos los términos de la suma se eliminan entre sí, porque cada uno aparece dos veces, una con signo positivo y la otra con signo negativo. Por lo tanto, la fórmula para calcular el valor numérico de la integral definida se ha obtenido fácilmente, a saber:

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b) - F(a) \end{equation*}$

donde $y = F(x)$ es una antiderivada de la función $y = f(x)$ . En palabras, el valor numérico de la integral definida de una función dada $y = f(x)$ con respecto a su variable independiente desde $a$ hasta $b$ es igual a la diferencia de la evaluación de su antiderivada $F(x)$ en $b$ y en $a$ .

Recuerde que los valores $x = a$ , y $x = b$ se llaman «los límites de integración». El límite $x = a$ es el límite inferior de integración y $x = b$ es el límite superior de integración.

El teorema fundamental del cálculo es el resultado más importante en el cálculo porque establece cómo el proceso de suma depende de la operación inversa (de diferenciación). La definición de la antiderivada se basa en esta operación inversa (diferenciación) porque esto es lo que permite el cálculo numérico de la integral (definida).

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4.6 El teorema fundamental del cálculo

Se justifica el teorema fundamental del cálculo usando infinitesimales.