Hasta aquí se ha dicho que la expresión
representa la suma de una cantidad infinita de infinitesimales, pero no se ha dado ninguna pista sobre cómo calcular su valor numérico. Para obtenerlo, suponga que es la antiderivada de
, de modo que
. Así,
Para obtener el valor numérico de la suma de todos los diferenciales de la forma desde
hasta
, aplique el postulado de Leibniz,
, y varíe
desde
hasta
en esta expresión para obtener una cantidad infinita de diferenciales de la forma
, como sigue:
Tenga en cuenta que, dado que se trata de una suma telescópica, excepto y
, todos los términos de la suma se eliminan entre sí, porque cada uno aparece dos veces, una con signo positivo y la otra con signo negativo. Por lo tanto, la fórmula para calcular el valor numérico de la integral definida se ha obtenido fácilmente, a saber:
donde es una antiderivada de la función
. En palabras, el valor numérico de la integral definida de una función dada
con respecto a su variable independiente desde
hasta
es igual a la diferencia de la evaluación de su antiderivada
en
y en
.
Recuerde que los valores , y
se llaman «los límites de integración». El límite
es el límite inferior de integración y
es el límite superior de integración.
El teorema fundamental del cálculo es el resultado más importante en el cálculo porque establece cómo el proceso de suma depende de la operación inversa (de diferenciación). La definición de la antiderivada se basa en esta operación inversa (diferenciación) porque esto es lo que permite el cálculo numérico de la integral (definida).
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