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4.6 El teorema fundamental del cálculo

Se justifica el teorema fundamental del cálculo usando infinitesimales.


4.8 Limites de integración

El teorema fundamental del cálculo indica que:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot dx = F(b) - F(a) \end{equation*}

En su justificación, la suma telescópica funciona porque f(x) \cdot dx es la diferencia de dos términos consecutivos de la sucesión que se define cuando el todo se dividió en una cantidad infinita de partes.

Recuerde que inicialmente, el infinitesimal dx se obtuvo como:

    \begin{equation*} 	dx = \frac{b - a}{N} \end{equation*}

donde N es una cantidad infinitamente grande.

Por supuesto, si b > a, se deduce que b - a > 0, y por lo tanto, dx > 0, ya que N es positivo. De manera semejante, si b < a, entonces dx < 0. Cuando el denominador de la fracción es un número natural finito (por ejemplo, n en lugar de N) y el incremento en la variable x se convierte en \Delta x, un número finito.

De esto, se deduce que intercambiar los límites de integración cambia el signo de la integral definida. Matemáticamente,

    \begin{equation*} 	\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx = -\int\limits_{b}^{a} f(x)\cdot dx \end{equation*}

Este resultado se deduce inmediatamente del teorema fundamental del cálculo:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b)) = -\int\limits_{b}^{a} f(x)\cdot dx \end{equation*}

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