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4.6 El teorema fundamental del cálculo

Se justifica el teorema fundamental del cálculo usando infinitesimales.


Prueba sin infinitesimales

Hay un problema con la prueba previa del teorema fundamental del cálculo. A saber, el hecho de que se está agregando una cantidad infinita de términos y está implícito en el procedimiento utilizado el hecho de que la propiedad de la suma telescópica se satisface incluso para una cantidad infinitamente grande de términos. En cualquier caso, hay otra forma de justificar la fórmula evitando el inconveniente mencionado, como sigue (la idea básica de esta demostración se encontró en el libro Matemáticas Universitarias, de Britton, Kreigh & Rutland, 1965.) Suponga que y = F(x) es una antiderivada de la función y = f(x). Defina la función:

    \begin{equation*} 	G(t) = \int\limits_{a}^{t} f(x) \cdot dx  \end{equation*}

Por definición de antiderivada, F'(x) = G'(x), y dado que dos antiderivadas de la misma función difieren en una constante, G(x) = F(x) + C. Observe que

    \begin{equation*} 	G(b) = \int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot dx  = F(b) + C 	\qquad\text{ y tambi\'en }\qquad 	G(a) = \int\limits_{a}^{a} f(x) \cdot dx = F(a) + C = 0 \end{equation*}

pues en la suma se está considerando solamente un diferencial, el cual como número real es cero. Consecuentemente, C = -F(a). Sustituyendo este resultado en G(b), se obtiene:

    \begin{equation*} 	G(b) = F(b) + C = \int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot dx = F(b) - F(a)  \end{equation*}

que es lo que se debía demostrar.

El teorema fundamental del cálculo indica que para calcular el valor numérico de la integral definida, es necesario evaluar la antiderivada del integrando en los límites de integración y restarlos.

Esto apunta a la necesidad de calcular antiderivadas de funciones para calcular integrales. En el próximo capítulo se cubren algunas técnicas elementales de integración. En el resto del presente capítulo, se justifican algunos resultados elementales junto con algunas fórmulas rudimentarias para las antiderivadas de funciones.


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