4.5 La suma telescópica

El siguiente resultado numérico se debe a Leibniz (1666, De Arte Combinatoria.)

Dada la sucesión de números: $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ . A partir de ella, se crea la sucesión de diferencias: $d_{i} = a_{i} - a_{i-1}$ , para obtener: $d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}$ . La suma de sus términos es:

$\begin{eqnarray*} S &=& d_{1} + d_{2} + d_{3} + \cdots + d_{n-1} + d_{n} \\ &=& \left( a_{1} - a_{0} \right) + \left( a_{2} - a_{1} \right) + \left( a_{3} - a_{2} \right) + \cdots + \left( a_{n-1} - a_{n-2} \right) + \left( a_{n} - a_{n-1} \right) \\ &=& a_{n} - a_{0} \end{eqnarray*}$

Observe que en la suma $a_{1}$ aparece dos veces: con signo positivo primero y luego negativo. La suma de estos dos términos es cero. Lo mismo puede decirse de todos los demás términos, excepto $a_{n}$ y $- a_{0}$ . Esto justifica el resultado.

Leibniz consideró que este resultado se puede aplicar sin importar el número de términos, y lo aplicó al sumar diferenciales. De modo que la suma de una cantidad infinita de infinitesimales, si la suma considera una sucesión de diferencias, el resultado será igual a la diferencia del último término menos el primero. Este resultado se conoce como «la suma telescopica».

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Se explica la suma telescópica de Leibniz.