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4.3 La integral definida

Se define la integral definida como la suma de una cantidad infinitamente grande de diferenciales.

Sea y = F (x) una función continua y diferenciable en el intervalo cerrado [a, b]. En dicho intervalo, la cantidad dy = F '(x) \cdot dx es una cantidad infinitamente pequeña, según la definición de diferencial. Por las propiedades de los infinitesimales, la suma de cualquier número finito de infinitesimales es un infinitesimal. Para obtener un número finito a partir de la suma de diferenciales, es necesario considerar una cantidad infinita de términos en la suma. Este proceso de sumar una cantidad infinita de infinitesimales está encapsulado en el concepto de integral definida.


Integral definida


Es el resultado de la suma de una cantidad infinita de diferenciales y se denota por:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot dx \end{equation*}

donde a y b son «los límites superior e inferior de integración», respectivamente y estos valores son los puntos inicial y final de la evaluación de la suma.

La notación

    \begin{equation*} 	\int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot dx \end{equation*}

se lee: «la integral definida de la función f desde x = a hasta x = b».

El signo de integral se debe a Leibniz (1686) para quien significaba una suma, que inicialmente llamó omnia, refiriéndose al todo completo. Johannes Bernoulli sugirió a Leibniz que cambiara el nombre a integral. El nombre «integral» es más apropiado para este concepto matemático porque representa el resultado de sumar todas las partes en las que se dividió el todo. Por lo tanto, el todo está íntegro, ya es integral, es decir, no le falta alguna de sus partes: todas se han sumado para recuperar el todo (completo, íntegro).

Los límites de integración de la integral definida se deben a Joseph Fourier, 1822 (La théorie analytique de la chaleur, Paris) su meta era diferenciar la integral definida de la antiderivada. En los cursos tradicionales donde las definiciones de la derivada y la integral definida se basan en la noción de límites, la antiderivada generalmente se llama «integral indefinida», para diferenciarla de la «integral definida» (la que se acaba de definir aquí, e incluye los límites de integración.)

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