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4.2 Fórmulas de antiderivadas

Se enlistan las fórmulas de antiderivadas básicas que se han deducido de manera indirecta previamente.

A partir de las fórmulas ya deducidas para calcular la derivada de una función, es posible obtener las fórmulas correspondientes para calcular las antiderivadas. Por ejemplo, debido a la definición de antiderivada, ya que

    \begin{equation*} 	\frac{d\left(\sin v\right)}{dx} = \cos v\cdot \frac{dv}{dx} 	\quad\text{ se sigue que }\quad 	\int\!\cos v\,dv = \sin v + C \end{equation*}

Las siguientes fórmulas para antiderivadas pueden deducirse fácilmente de las correspondientes fórmulas para calcular derivadas de funciones que ya han sido justificadas.

  • \displaystyle\int\!(dv+dw) = \int\!dv + \int\!dw
  • \displaystyle\int\!a\,dv = a \int\!dv
  • \displaystyle\int\!{dx} = x + C
  • \displaystyle\int\!v^n\,{dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C
  • \displaystyle\int\!\frac{dv}{v} = \ln |v| + C
  • \displaystyle\int\!a^v\,dv = \frac{a^v}{\ln a} + C
  • \displaystyle\int\!e^v\,dv = e^v + C
  • \displaystyle\int\!\sin v\,dv = -\cos v + C
  • \displaystyle\int\!\cos v\,dv = \sin v + C
  • \displaystyle\int\!\sec^2v \,dv = \tan v + C
  • \displaystyle\int\!\csc^2v \,dv = -\cot v + C
  • \displaystyle\int\!\sec v\tan v \,dv = \sec v + C
  • \displaystyle\int\!\frac{dv}{\sqrt{a^2 - v^2}} = \arcsin \left(\frac{v}{a}\right) + C
  • \displaystyle\int\!\frac{dv}{a^2 - v^2} = \frac{1}{a}\,\arctan\left(\frac{v}{a}\right) + C
  • \displaystyle\int\!u\,dv = u\cdot v - \int\!v\,du

Estas fórmulas y muchas más que pueden deducirse aplicando las técnicas algebraicas apropiadas, se utilizan para calcular integrales definidas (vea la sección titulada «La integral definida» y el capítulo final titulado «Aplicaciones de la integral», así como para resolver ecuaciones en las que aparecen la función y sus derivadas sucesivas (conocidas como ecuaciones diferenciales).

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