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4.14 Antiderivadas de funciones hiperbólicas

Se justifican fórmulas para calcular antiderivadas de funciones hiperbólicas.

Las funciones hiperbólicas se definen en la unidad de formación titulada: «Derivada de funciones hiperbólicas». Las fórmulas correspondientes a sus derivadas ya se han justificado. A partir de esas reglas, también se dedujeron las fórmulas para calcular sus antiderivadas. En esta sección, se justifican algunas otras fórmulas básicas para calcular antiderivadas de funciones hiperbólicas.

4.14.1 Antiderivada de la función tangente hiperbólica

Por definición,

    \begin{equation*} 	\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \end{equation*}

Para calcular la antiderivada de esta función, aplique un cambio de variable definiendo v = \cosh x de manera que su diferencial dv = \sinh x\cdot dx aparezca en el numerador de la fracción. Con esta definición, la fórmula \int dv / v es aplicable:

    \begin{equation*} 	\int\!\tanh x\cdot dx = \int\! \frac{\sinh x}{\cosh x} \cdot dx	 		= \int\!\frac{dv}{v}	= \ln| v | + \hat{C}	 		= \ln|\cosh x| + C \end{equation*}

La regla general que se obtiene es la siguiente:

    \begin{equation*} 	\int\!\tanh v\cdot dv = \ln|\cosh v| + C \end{equation*}


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