4.13 Antiderivadas de funciones logarítmicas

4.13.4 Antiderivada de la función $y = u^n\,\ln u$

Defina $u = \ln|\theta|$ , y $dv = \theta^{n}\cdot d\theta$ , de manera que $du = \nicefrac{d\theta}{\theta}$ , y $v = \nicefrac{\theta^{n+1}}{(n + 1)}$ .

Ahora aplique la fórmula de integración por partes,

$\begin{eqnarray*} \int\!\theta^{n}\cdot \ln|\theta|\cdot d\theta &=& \frac{\theta^{n+1}}{(n + 1)}\cdot\ln|\theta| - \int\! \frac{\theta^{n+1}}{(n + 1)}\cdot \frac{d\theta}{\theta}\\ &=& \frac{\theta^{n+1}}{(n + 1)}\cdot\ln|\theta| - \frac{1}{(n + 1)}\,\int\!\theta^{n}\cdot d\theta\\ &=& \frac{\theta^{n+1}}{(n + 1)}\cdot\ln|\theta| - \frac{1}{(n + 1)^2}\,\theta^{n+1} + C\\ &=& \frac{\theta^{n+1}}{(n + 1)^2}\cdot\left[(n + 1) \, \ln|\theta| - 1\right] + C \end{eqnarray*}$