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4.13 Antiderivadas de funciones logarítmicas

Se deducen fórmulas para calcular antiderivadas de funciones logarítmicas.


4.13.3 Antiderivada de la función y = u\,\ln u

Defina u = \ln |\theta|, y dv = \theta\cdot d\theta. Por lo tanto, du = \nicefrac{d\theta}{\theta}, y también, v = \nicefrac{\theta^2}{2}.

Sustituya esto en la fórmula para calcular la antiderivada usando la técnica de integración por partes:

    \begin{equation*} 	\int\! \theta\cdot\ln|\theta|\cdot d\theta  		= \frac{\theta^2}{2} \cdot \ln |\theta| - \int\! \frac{\theta^2}{2} \cdot \frac{d\theta}{\theta}  		= \frac{1}{2}\,\theta^2\,\ln|\theta| - \frac{1}{2}\int\! \theta \cdot d\theta 		= \frac{1}{2}\,\theta^2\,\ln|\theta| - \frac{1}{4}\,\theta^2 + C \end{equation*}

Por lo tanto, la regla general para calcular la antiderivada es:

    \begin{equation*} 	\int\! v\cdot\ln |v|\cdot dv = \frac{1}{2}\,v^2\,\left(\ln|v| - \frac{1}{2}\right) + C \end{equation*}


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