4.13 Antiderivadas de funciones logarítmicas

4.13.3 Antiderivada de la función $y = u\,\ln u$

Defina $u = \ln |\theta|$ , y $dv = \theta\cdot d\theta$ . Por lo tanto, $du = \nicefrac{d\theta}{\theta}$ , y también, $v = \nicefrac{\theta^2}{2}$ .

Sustituya esto en la fórmula para calcular la antiderivada usando la técnica de integración por partes:

$\begin{equation*} \int\! \theta\cdot\ln|\theta|\cdot d\theta = \frac{\theta^2}{2} \cdot \ln |\theta| - \int\! \frac{\theta^2}{2} \cdot \frac{d\theta}{\theta} = \frac{1}{2}\,\theta^2\,\ln|\theta| - \frac{1}{2}\int\! \theta \cdot d\theta = \frac{1}{2}\,\theta^2\,\ln|\theta| - \frac{1}{4}\,\theta^2 + C \end{equation*}$