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4.12 Antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados

Se deducen fórmulas para calcular antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados.
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En esta sección se justifican algunas fórmulas para calcular la antiderivada de funciones que incluyen a^2 + u^2, a^2 - u^2 or u^2 - a^2.

4.12.1 Antiderivatida de y = \nicefrac{1}{(a^2 + u^2)}

Reescriba el denominador factorizando a^2 de ambos términos de la siguiente manera:

    \begin{equation*} \int\!\frac{du}{a^2 + u^2} = \int\!\frac{du}{\displaystyle a^2\left(1 + \frac{u^2}{a^2}\right)} \end{equation*}

Ahora, multiplique en el denominador por 1, escrito como \nicefrac{a}{a}:

    \begin{equation*} \int\!\frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a^2}\int\!\frac{\displaystyle\frac{a}{1}\cdot\frac{du}{a}}{\displaystyle 1 + \frac{u^2}{a^2}} = \frac{1}{a}\int\!\frac{\displaystyle\frac{du}{a}}{\displaystyle 1 + \frac{u^2}{a^2}} \end{equation*}

Defina v = \nicefrac{u}{a}, para que con el cambio de variable la expresión se convierta en:

    \begin{equation*} \int\!\frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a}\int\!\frac{dv}{1 + v^2} = \frac{1}{a}\,\arctan v + \hat{C} = \frac{1}{a}\,\arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C \end{equation*}


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