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4.12 Antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados

Se deducen fórmulas para calcular antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados.


4.12.7 Antiderivada de y = \nicefrac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}}

Para calcular

    \begin{equation*} 	\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} \end{equation*}

Defina u = a\,\sec\theta. De esto se sigue que, du = a\,\sec\theta\cdot \tan\theta\cdot d\theta. Haciendo el cambio de variable se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}  		&=& \int\!\frac{a\,\sec\theta\cdot \tan\theta\cdot d\theta}{\sqrt{a^2\,\sec^2\theta - a^2}}	\\ 		&=& \int\!\frac{\sec\theta\cdot \tan\theta\cdot d\theta}{\sqrt{\sec^2\theta - 1}}	\\ 		&=& \int\!\frac{\sec\theta\cdot \tan\theta\cdot d\theta}{\tan\theta}	\\ 		&=& \int \sec\theta\cdot d\theta  \\ 		&=& \ln\left\vert \sec\theta + \tan\theta \right\vert + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, \sec\theta = \nicefrac{u}{a}, y por lo tanto, \tan\theta = \sqrt{\sec^2\theta - 1} = \nicefrac{\sqrt{u^2 - a^2}}{a}. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}  		&=& \ln\left\vert \frac{u}{a} + \frac{\sqrt{u^2 - a^2}}{a} \right\vert + \hat{C}	\\ 		&=& \ln\left\vert \frac{u + \sqrt{u^2 - a^2}}{a} \right\vert + \hat{C}	\\ 		&=& \ln\left\vert u + \sqrt{u^2 - a^2} \right\vert - \ln|a| + \hat{C}	\\ 		&=& \ln\left\vert u + \sqrt{u^2 - a^2} \right\vert + C	\\ \end{eqnarray*}

En general, siempre que sea necesario calcular la antiderivada de una función

  \begin{center} \begin{tabular}{lclcl} que contega	& \hspace{25pt}	&	defina 	& \hspace {50pt} & para obtener	\\ $\sqrt{a^2 - u^2}$  && $u = a\,\sin\theta$ && $a\,\cos\theta$ \\ $\sqrt{a^2 + u^2}$  && $u = a\,\tan\theta$ && $a\,\sec\theta$ \\ $\sqrt{u^2 - a^2}$  && $u = a\,\sec\theta$ && $a\,\tan\theta$  \end{tabular}

Cuando se usan estas sustituciones, se dice que se ha aplicado la técnica de «sustitución trigonométrica».

Obviamente, si el integrando incluye la expresión: u\cdot \sqrt{a^2 + u^2}, un cambio de variable resolverá el problema de una manera más sencilla que mediante la técnica de sustitución trigonométrica.

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