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4.12 Antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados

Se deducen fórmulas para calcular antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados.


4.12.6 Antiderivada de y = \nicefrac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}}

Defina u = a\,\sin\theta, de manera que du = a\,\cos\theta\cdot d\theta. Aplicando el cambio de variable se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int\!\frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \int\!\frac{a\,\cos\theta\cdot d\theta}{\sqrt{a^2 - a^2\,\sin^2\theta}}  		= \int\!\frac{\cos\theta\cdot d\theta}{\sqrt{1 - \,\sin^2\theta}}  \end{equation*}

Pero 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int\!\frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \int\!\frac{\cos\theta\cdot d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}}  		= \int\!\frac{\cos\theta\cdot d\theta}{\cos\theta}  		= \int d\theta  		= \theta + \hat{C} \end{equation*}

Y puesto que \sin\theta = \nicefrac{u}{a}, se sigue que \theta = \arcsin(\nicefrac{u}{a}). Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int\!\frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + C \end{equation*}


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