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4.12 Antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados

Se deducen fórmulas para calcular antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados.


4.12.5 Antiderivada de y = \sqrt{a^2 - u^2}


Para calcular

    \begin{equation*} 	\int\sqrt{a^2 - u^2}\cdot du \end{equation*}

Sea u = a\,\sin\theta, de manera que du = a\,\cos\theta\cdot d\theta. Cambiando la variable,

    \begin{equation*} 	\int\sqrt{a^2 - u^2}\cdot du = \int \sqrt{a^2 - a^2\,\sin^2\theta}\cdot a\,\cos\theta\cdot d\theta \end{equation*}

Simplifique la expresión para obtener:

    \begin{equation*} 	\int\sqrt{a^2 - u^2}\cdot du = a^2\,\int \sqrt{1 - \sin^2\theta}\, \cos\theta\cdot d\theta \end{equation*}

También recuerde que \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int\sqrt{a^2 - u^2}\cdot du = a^2\,\int \cos^2\theta\cdot d\theta \end{equation*}

Pero \cos^2\theta = \nicefrac{(1 + \cos(2\,\theta))}{2}. Así que,

    \begin{equation*} 	\int\sqrt{a^2 - u^2}\cdot du = a^2\,\int \cos^2\theta\cdot d\theta  		= \frac{a^2}{2}\,\int (1 + \cos(2\,\theta))\cdot d\theta  		= \frac{a^2}{2}\,\left[\theta + \sin(2\,\theta)\right] + \hat{C} \end{equation*}

Ahora, puesto que \sin(2\,\theta) = 2\,\sin\theta\cdot\cos\theta, se sigue que:

    \begin{equation*} 	\frac{a^2}{2}\,\left[\theta + \sin(2\,\theta)\right] + \hat{C}  		= \frac{a^2}{2}\,\left[\theta + 2\,\sin\theta\cdot\cos\theta\right] + \hat{C}  		= \frac{a^2}{2}\,\theta + a^2\,\sin\theta\cdot\cos\theta + \hat{C} \end{equation*}

Por definición, \sin\theta = \nicefrac{u}{a}, por lo que \cos\theta = \nicefrac{\sqrt{a^2 - u^2}}{a}. Finalmente,

    \begin{eqnarray*} 	\int\sqrt{a^2 - u^2}\cdot du &=& a^2\,\int \cos^2\theta\cdot d\theta \\ 		&=& \frac{a^2}{2}\,\arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + a^2\cdot\frac{u}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^2 - u^2}}{a}	+ C\\ 		&=& \frac{a^2}{2}\,\arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + u\cdot\sqrt{a^2 - u^2} + C \end{eqnarray*}


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