4.12 Antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados

4.12.4 Antiderivada de $y = \nicefrac{1}{(a^2 - u^2)}$

Para deducir la fórmula correspondiente a la antiderivada para la función $y = \nicefrac{1}{(a^2 - u^2)}$ , primero observe que

$\begin{equation*} \frac{1}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2\,a}\cdot \left(\frac{1}{u + a} - \frac{1}{u - a}\right) \end{equation*}$

Por lo tanto, para $a$ constante, se deduce que

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{du}{a^2 - u^2} &=& \frac{1}{2\,a}\int\left(\frac{1}{u + a} - \frac{1}{u - a}\right)\cdot du \\ &=& \frac{1}{2\,a}\cdot\left(\ln |u + a| - \ln|u - a|\right) + C \\ &=& \frac{1}{2\,a}\cdot\ln\left\vert\frac{u + a}{u - a}\right\vert + C \end{eqnarray*}$