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4.12 Antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados

Se deducen fórmulas para calcular antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados.


4.12.3 Antiderivada de y = \nicefrac{1}{\sqrt{a^2 + u^2}}

Para calcular

    \begin{equation*} 	\int\!\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}} \end{equation*}

Defina u = a\,\tan\theta, de manera que du = a\,\sec^2\theta\cdot d\theta. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int\!\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}} &=& \int \frac{a\,\sec^2\theta\cdot d\theta}{\sqrt{a^2 + a^2\tan^2\theta}}	\\ 		&=& \frac{a}{a}\,\int \frac{\sec^2\theta\cdot d\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}	\\ 		&=& \int \frac{\sec^2\theta\cdot d\theta}{\sqrt{\sec^2\theta}}	\\ 		&=& \int \sec\theta\cdot d\theta  \\ 		&=& \ln\left\vert \sec\theta + \tan\theta \right\vert + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, \tan\theta = \nicefrac{u}{a}. Por lo tanto, \sec\theta = \nicefrac{\sqrt{a^2 + u^2}}{a}. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int\!\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}} &=& \ln\left\vert \sec\theta + \tan\theta \right\vert + \hat{C}  \\ 		&=& \ln\left\vert \frac{\sqrt{a^2 + u^2}}{a} + \frac{u}{a} \right\vert + \tilde{C}  \\ 		&=& \ln\left\vert \frac{u + \sqrt{a^2 + u^2}}{a}\right\vert + \tilde{C}	\\ 		&=& \ln\left\vert u + \sqrt{a^2 + u^2}\right\vert - \ln|a| + \tilde{C}  \\ 		&=& \ln\left\vert u + \sqrt{a^2 + u^2}\right\vert + C \end{eqnarray*}


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