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4.12 Antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados

Se deducen fórmulas para calcular antiderivadas de sumas y diferencias de cuadrados.


4.12.2 Antiderivada de y = \sqrt{a^2 + u^2}

Defina u = a\,\tan \theta. Entonces, du = a\,\sec^2\theta\cdot d\theta. Ahora cambiemos la variable en el integrando:

    \begin{eqnarray*} 	\int \sqrt{a^2 + u^2}\cdot du  		&=& \int \sqrt{a^2 + a^2\,\tan^2\theta} \cdot a\,\sec^2\theta\cdot d\theta	\\ 		&=& a\,\int \sqrt{a^2\,(1 + \tan^2\theta)} \cdot \sec^2\theta\cdot d\theta	\\ 		&=& a^2\,\int \sqrt{1 + \tan^2\theta} \cdot \sec^2\theta\cdot d\theta	 \end{eqnarray*}

Pero ~1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta~, por lo que:

    \begin{equation*} 		a^2\,\int \sqrt{1 + \tan^2\theta} \cdot \sec^2\theta\cdot d\theta	 		= a^2\,\int \sec^3\theta\cdot d\theta	 \end{equation*}

La antiderivada para el cubo de la función cosecante ya se conoce.

    \begin{equation*} 	a^2\,\int \sec^3\theta\cdot d\theta  	= \frac{a^2}{2}\,\sec\theta\cdot\tan\theta + \frac{a^2}{2}\,\ln\left\vert\sec\theta + \tan\theta\right\vert + \hat{C}	 \end{equation*}

Ahora, por definición, \tan \theta = \nicefrac{u}{a}, y a partir de esto es fácil observar que

    \begin{equation*} 	\sec\theta = \sqrt{1 + \tan^2\theta}  		= \sqrt{1 + \frac{u^2}{a^2}}  		= \sqrt{\frac{a^2 + u^2}{a^2}} 		= \frac{\sqrt{a^2 + u^2}}{a} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sqrt{a^2 + u^2}\cdot du  		&=& \frac{a^2}{2}\cdot\frac{1}{a}\,\sqrt{a^2 + u^2}\cdot\frac{u}{a} + \frac{a^2}{2}\,\ln\left\vert \frac{\sqrt{a^2 + u^2}}{a} + \frac{u}{a} \right\vert + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\cdot u\cdot\sqrt{a^2 + u^2} + \frac{a^2}{2}\,\ln\left\vert \frac{u + \sqrt{a^2 + u^2}}{a}\right\vert + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\cdot u\cdot\sqrt{a^2 + u^2} + \frac{a^2}{2}\,\ln\left\vert u + \sqrt{a^2 + u^2} \right\vert - \frac{a^2}{2}\,\ln|a| + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\cdot u\cdot\sqrt{a^2 + u^2} + \frac{a^2}{2}\,\ln\left\vert u + \sqrt{a^2 + u^2} \right\vert + C \end{eqnarray*}


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