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4.11 Antiderivada de funciones trigonométricas inversas

Se deducen las fórmulas para calcular antiderivadas de funciones trigonométricas inversas

4.11.1 Antiderivada de la función arcoseno

Defina y = \arcsin v, para que, v = \sin y. De esto, se obtiene: dv = \cos y \cdot dy.

Para calcular la antiderivada para la función arcoseno, cambie la expresión en términos de la variable v a su equivalente en términos de y en el integrando de la siguiente manera:

    \begin{equation*} 	\int \arcsin v \cdot dv = \int y\cdot \cos y\cdot dy \end{equation*}

Ahora, defina u = y, de manera que du = dy y también sea dw = \cos y\cdot dy, para que, w = \sin y. Con estas definiciones a la mano, aplique la técnica de integración por partes para obtener:

    \begin{equation*} 	\int y\cdot \cos y\cdot dy = y\,\sin y - \int \sin y\cdot dy	 		= y\,\sin y + \cos y + \hat{C} \end{equation*}

Por definición, v = \sin y, y también, \sin^2 y + \cos^2 y = 1, resolviendo para \cos y se obtiene: \cos y = \sqrt{1 - v^2}. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \arcsin v \cdot dv = v\cdot \arcsin v + \sqrt{1 - v^2} + C \end{equation*}


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