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4.11 Antiderivada de funciones trigonométricas inversas

Se deducen las fórmulas para calcular antiderivadas de funciones trigonométricas inversas


4.11.3 Antiderivada de la función arcotangente

En este caso defina y = \arctan v, de manera que v = \tan y. Entonces, dv = \sec^2 y \cdot dy.

Ahora cambie la expresión a su equivalente en términos de y:

    \begin{equation*} 	\int \arctan v \cdot dv = \int y\cdot \sec^2 y \cdot dy \end{equation*}

Para aplicar la técnica de integración por partes, defina u = y, de manera que du = dy y también, sea dw = \sec^2 y\cdot dy, para obtener, w = \tan y. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int y\cdot \sec^2 y \cdot dy = y\,\tan y - \int \tan y \cdot dy	 		= y\,\tan y - \ln | \sec y| + \hat{C} \end{equation*}

Puesto que \tan^2 y + 1 = \sec^2 y, y también se definió v = \tan y, por lo que \sec y = \sqrt{1 + v^2}. Consecuentemente,

    \begin{equation*} 	\int \arctan v \cdot dv = v\cdot \arctan v - \ln\left\vert\sqrt{1 + v^2}\right\vert + C  		= v\cdot \arctan v - \frac{1}{2}\,\ln\left\vert 1 + v^2\right\vert + C  \end{equation*}

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