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4.11 Antiderivada de funciones trigonométricas inversas

Se deducen las fórmulas para calcular antiderivadas de funciones trigonométricas inversas


4.11.2 Antiderivada de la función arcocoseno

Defina y = \arccos v. Entones, v = \cos y. De aquí que dv = -\sin y \cdot dy.

Como en el caso anterior, la antiderivada para esta función se puede obtener cambiando la expresión en términos de la variable v a su equivalente en términos de y:

    \begin{equation*} 	\int \arccos v \cdot dv = \int y\cdot (-\sin y\cdot dy) \end{equation*}

Ahora defina u = y, de manera que du = dy, y también defina dw = -\sin y\cdot dy, para obtener, w = \cos y. Ahora, aplique la técnica de integración por partes:

    \begin{equation*} 	\int y\cdot \cos y\cdot dy = y\,\cos y - \int \cos y\cdot dy	 		= y\,\cos y - \sin y + \hat{C} \end{equation*}

Por definición, v = \cos y, y también, \sin^2 y + \cos^2 y = 1, implica que \sin y = \sqrt{1 - v^2}. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \arccos v \cdot dv = v\cdot \arccos v - \sqrt{1 - v^2} + C \end{equation*}


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