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4.10 Antiderivada de funciones trigonométricas

Se deducen fórmulas básicas para calcular antiderivadas de funciones trigonométricas.


4.10.13 Antiderivada del cubo de la secante

Primero observe que

    \begin{equation*} 		\,\int \sec^3\theta\cdot d\theta	= \,\int \sec\theta \cdot \sec^2\theta\cdot d\theta	 \end{equation*}

Para calcular esta antiderivada, defina u = \sec\theta de manera que du = \sec\theta\cdot\tan\theta\cdot d\theta, y dv = \sec^2\theta\cdot d\theta, por lo que, v = \tan\theta. Ahora aplique la técnica de integración por partes para obtener:

    \begin{eqnarray*} 	\int \sec\theta \cdot \sec^2\theta\cdot d\theta  		&=& \sec\theta\cdot\tan\theta - \int \tan\theta \cdot \sec\theta \cdot \tan\theta \cdot d\theta	\\ 		&=& \sec\theta\cdot\tan\theta - \int \tan^2\theta \cdot \sec\theta \cdot d\theta	 \end{eqnarray*}

Nuevamente, aplique el hecho de que \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sec^3\theta\cdot d\theta  		&=& \sec\theta\cdot\tan\theta - \int \tan^2\theta \cdot \sec\theta \cdot d\theta	\\ 		&=& \sec\theta\cdot\tan\theta - \int \left[\sec^2\theta - 1 \right] \cdot \sec\theta \cdot d\theta		\\ 		&=& \sec\theta\cdot\tan\theta - \int \left[\sec^3\theta - \sec\theta \right] \cdot d\theta		\\ 		&=& \sec\theta\cdot\tan\theta - \int \sec^3\theta \cdot d\theta + \int \sec\theta \cdot d\theta		 \end{eqnarray*}

Y ahora, agregue a ambos lados del signo igual, la cantidad a su izquierda, para obtener:

    \begin{equation*} 	2\,\int \sec^3\theta\cdot d\theta  		= \sec\theta\cdot\tan\theta + \int \sec\theta \cdot d\theta		 		= \sec\theta\cdot\tan\theta + \ln\left\vert\sec\theta + \tan\theta\right\vert + \hat{C}  \end{equation*}

Y de esto se deduce que:

    \begin{equation*} 	\int \sec^3\theta\cdot d\theta  	= \frac{1}{2}\,\sec\theta\cdot\tan\theta +\frac{1}{2}\,\ln\left\vert\sec\theta + \tan\theta\right\vert + C \end{equation*}


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