4.1 La antiderivada

Ahora que se ha definido la derivada, se puede preguntar lo siguiente:

Ejemplo 4.1.1

¿Cuál es la función $y = F (x)$ cuya derivada es la función $y = 2\,x$ ?

Es bastante fácil notar que si $F(x) = x^{2}$ , entonces

$\begin{equation*} \frac{dF}{dx} = 2\,x \end{equation*}$

Así que, si $F(x) = x^{2}$ , su derivada es la función $f(x) = 2\,x$ .

En el ejemplo anterior, $F(x)$ no es única. De hecho, considere $F_2(x) = x^{2} + 1$ , y es sencillo verificar que su derivada también es $f(x) = 2\,x$ .

Antiderivada

Sea $F(x)$ una función dada, y $f(x)$ su derivada respecto de la variable $x$ . Entonces,
$\begin{equation*} F(x) = \int f(x)\cdot dx \end{equation*}$

es una antiderivada de $f(x)$ con respecto a la variable $x$ .

El símbolo $\int$ se llama el signo integral, e indica que debemos realizar la operación inversa de la derivación, (es por eso que se llama antiderivada. El término «derivada inversa» está en desuso.)

En resumen, la expresión

$\begin{equation*} F(x) = \int f(x)\cdot dx \end{equation*}$

representa una función $y = F(x)$ cuya derivada con respecto a $x$ es $F'(x) = f(x)$ . En otras palabras, $y = F(x)$ cambia $f(x)$ veces más rápido que $x$ en cualquier punto dado de su dominio.

Si la razón de cambio de dos funciones es igual para cualquier $x$ , entonces, las funciones son iguales o tal vez difieren por una constante. De esto, se deduce que si $F (x)$ es una antiderivada de $f (x)$ , también es $F (x) + C$ para cualquier valor constante $C$ .

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Se define la antiderivada de una función.

Ejemplo 4.1.1

Antiderivada