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4.1 La antiderivada

Se define la antiderivada de una función.

Ahora que se ha definido la derivada, se puede preguntar lo siguiente:


Ejemplo 4.1.1

¿Cuál es la función y = F (x) cuya derivada es la función y = 2\,x?

Es bastante fácil notar que si F(x) = x^{2}, entonces

    \begin{equation*} 	\frac{dF}{dx} = 2\,x \end{equation*}

Así que, si F(x) = x^{2}, su derivada es la función f(x) = 2\,x.


En el ejemplo anterior, F(x) no es única. De hecho, considere F_2(x) = x^{2} + 1, y es sencillo verificar que su derivada también es f(x) = 2\,x.


Antiderivada


Sea F(x) una función dada, y f(x) su derivada respecto de la variable x. Entonces,

    \begin{equation*} 	F(x) = \int f(x)\cdot dx \end{equation*}

es una antiderivada de f(x) con respecto a la variable x.

El símbolo \int se llama el signo integral, e indica que debemos realizar la operación inversa de la derivación, (es por eso que se llama antiderivada. El término «derivada inversa» está en desuso.)

En resumen, la expresión

    \begin{equation*} 	F(x) = \int f(x)\cdot dx \end{equation*}

representa una función y = F(x) cuya derivada con respecto a x es F'(x) = f(x). En otras palabras, y = F(x) cambia f(x) veces más rápido que x en cualquier punto dado de su dominio.

Si la razón de cambio de dos funciones es igual para cualquier x, entonces, las funciones son iguales o tal vez difieren por una constante. De esto, se deduce que si F (x) es una antiderivada de f (x), también es F (x) + C para cualquier valor constante C.


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