4.1 La antiderivada

Ejemplo 4.1.3

Encuentre la ecuación de la curva cuya pendiente en cada punto es igual al doble de la abscisa del punto.

Tenemos una función tal que

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 2\,x \qquad\Rightarrow\qquad dy = 2\,x\cdot dx \end{equation*}$

De esto, se deduce que dicha función es:

$\begin{equation*} y = F(x) = \int 2\,x\cdot dx = x^2 + C \end{equation*}$

Observe que $F'(x) = 2\,x$ , independientemente de $C$ , ya que la derivada de cualquier constante es cero.

Geométricamente, la constante de integración desplaza verticalmente la gráfica de la función sin cambiar la pendiente de la gráfica en algún punto. Entonces, para cada valor de $x$ , la razón de cambio de la función no se ve afectada por la traducción vertical.

En otras palabras, agregar una constante a la antiderivada no cambia la razón de cambio de cada punto en su gráfica. Por lo que, si $F'(x) = f(x)$ , es decir, si la derivada de $y = F(x)$ es $y = f(x)$ , entonces, $y = F (x) + C$ conserva la razón de cambio de $F(x)$ porque agregar una constante a la función geométricamente es un desplazamiento vertical, y esta transformación no cambia su derivada (la razón de cambio en cada punto de la gráfica del función).

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Se define la antiderivada de una función.

Ejemplo 4.1.3