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4.1 La antiderivada

Se define la antiderivada de una función.



Ejemplo 4.1.2

Calcule la antiderivada de la función y = \cos (x).

Se requiere encontrar una función cuya derivada sea y' = \cos (x). Una función que satisface esto es: F(x) = y = \sin (x), puesto que la derivada de la función seno es la función coseno.

Desde luego, y = \sin (x) + C para cualquier constante C, es otra antiderivada de la función y = \cos (x), porque la derivada de cualquier constante es cero.


Del ejemplo anterior, el siguiente teorema es evidente.


Teorema 4.1.1


Cualesquiera dos antiderivadas de una función dada difieren por una constante.

Matematicamente,

    \begin{equation*} 	\frac{d(F(x))}{dx} = \frac{d(F(x) + C)}{dx}= f(x)  \quad \text{ para cualquier constante }C. \end{equation*}

En otras palabras, dos funciones que tienen la misma derivada, difieren por una constante. Además, la antiderivada de una función dada y = f(x) es la familia de funciones y = F(x) + C cuya pendiente de la recta tangente a su gráfica en cualquier punto x viene dada por la función y = f(x).

Por la definición de antiderivada,

    \begin{equation*} 	\int f(x)\cdot dx = F(x) + C \end{equation*}

donde C es una constante arbitraria, llamada la constante de integración.


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