4.1 La antiderivada

Ejemplo 4.1.2

Calcule la antiderivada de la función $y = \cos (x)$ .

Se requiere encontrar una función cuya derivada sea $y' = \cos (x)$ . Una función que satisface esto es: $F(x) = y = \sin (x)$ , puesto que la derivada de la función seno es la función coseno.

Desde luego, $y = \sin (x) + C$ para cualquier constante $C$ , es otra antiderivada de la función $y = \cos (x)$ , porque la derivada de cualquier constante es cero.

Del ejemplo anterior, el siguiente teorema es evidente.

Teorema 4.1.1

Cualesquiera dos antiderivadas de una función dada difieren por una constante.

Matematicamente,

$\begin{equation*} \frac{d(F(x))}{dx} = \frac{d(F(x) + C)}{dx}= f(x) \quad \text{ para cualquier constante }C. \end{equation*}$

En otras palabras, dos funciones que tienen la misma derivada, difieren por una constante. Además, la antiderivada de una función dada $y = f(x)$ es la familia de funciones $y = F(x) + C$ cuya pendiente de la recta tangente a su gráfica en cualquier punto $x$ viene dada por la función $y = f(x)$ .

Por la definición de antiderivada,

$\begin{equation*} \int f(x)\cdot dx = F(x) + C \end{equation*}$

donde $C$ es una constante arbitraria, llamada la constante de integración.

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Se define la antiderivada de una función.

Ejemplo 4.1.2

Teorema 4.1.1