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3.4 Teorema del valor medio para el cálculo diferencial

Se establece el teorema del valor medio para el cálculo diferencial, el teorema de Rolle y la regla de L'Hôpital.

Considere una función continua y diferenciable y = f(x), que corta al eje x en x = a y x = b. Suponga que y = f(x) es creciente en x = a. Dado que es continua, su gráfica tiene que subir, alcanzar un máximo y luego bajar para cortar el eje x nuevamente en x = b. Debido a que la función es diferenciable en el intervalo [a, b], existe al menos un punto x = c en ese intervalo tal que la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal. Esto es, f'(c) = 0.

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Desde luego, es posible que haya más de un punto en el intervalo [a, b] que satisfaga f '(x_c) = 0. A partir de este argumento, es fácil entender el siguiente teorema.


Teorema

Teorema de Rolle

Si y = f(x) es continua y diferenciable que satisfaga: f(a) = 0 y f(b) = 0 entonces f'(x) = 0 por al menos un valor de x entre a y b.

A partir de la representación geométrica de este teorema, se puede deducir una conclusión más general: para cualquier función continua y diferenciable y = f (x) que satisfaga f (a) = f (b) (donde a \neq b, y f (a) no es necesariamente cero), entonces f '(c) = 0 para al menos un valor c \in [a, b].


Ejemplo 3.4.1

Muestre que la ecuación x^4 + 4\,x - 1 = 0 no puede tener más de dos raíces reales.

Sea y = f(x) = x^4 + 4\,x - 1. Primero observe que f (0) = -1, y que f (1) = 4. Por lo tanto, dado que la función es polinomial y el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales, se deduce que esta función tiene una raíz entre x = 0 y x = 1.

El cambio en la concavidad de la función indicará si hay más de dos raíces. Para saber si la gráfica de la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo, se usa el signo de la segunda derivada. La primera y la segunda derivada de esta función son, respectivamente:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{dy}{dx} = f'(x) &=& 4\,x^3 + 4 = 4\,(x^3 + 1)	\\ 	\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = f''(x) &=& 12\,x^2 \end{eqnarray*}

es fácil ver que f'(-1) = 0. Solo hay un punto crítico real (las otras dos raíces son números complejos: r_1 = (-1)^{1/3} y r_2 = -(-1)^{2/3}.) El teorema de Rolle sugiere que puede haber otra raíz real, dependiendo de la concavidad de la gráfica de la función.

El signo de la segunda derivada en x = -1, f''(-1) = 12, es positivo. Esto indica que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en el punto crítico y, por lo tanto, es un mínimo. Entonces, dado que f(-1) = -4 es negativo, la función polinomial tiene otra raíz real (en total 2 hasta ahora).

Como f''(x) = 12\,x^2 es positivo en todas partes (excepto en x = 0) no hay cambio en la concavidad de la gráfica de la función, lo que indica que la función polinomial no tiene más raíces reales.


Para un caso más general del teorema de Rolle, considere una función y = f(x) continua y diferenciable en el intervalo cerrado [a, b]. Suponga que en este caso, f(a) y f(b) no son necesariamente cero. La pendiente de la línea secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) es:

    \begin{equation*} 	\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \end{equation*}

Debido a que la función es continua y diferenciable en el intervalo, hay al menos un punto x = c en el que la recta tangente a la gráfica de la función es paralela a la secante. Es decir,

    \begin{equation*} 	f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \end{equation*}

Gráficamente,

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Concepto

El teorema del valor medio para el cálculo diferencial

Si y = f (x) es continua y diferenciable en [a, b], entonces existe un número c en el intervalo (a, b) tal que: f(b) - f(a) = f'(c) \cdot (b - a).

Ejemplo 3.4.2

La media logarítmica m de los números positivos a y b se define como:

    \begin{equation*} 	m = \frac{b - a}{\ln(b) - \ln(a)} \end{equation*}

para a \neq b. Da una interpretación geométrica de este número y calcula el valor de la media logarítmica cuando a = b.

De la definición de media logarítmica, se sabe que m es el recíproco de la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, \ln(a)) y (b,\ln(b)). Para evitar la división entre cero, se requiere que tanto a como b sean números positivos y distintos entre sí.

Por el teorema del valor medio del cálculo diferencial, existe un número x = c en el intervalo (a,b) para el cual f'(c) es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)).

La derivada de la función y = \ln(x), es f'(x) = 1 / x. Evaluando en x = m, y aplicando el teorema del valor medio del cálculo diferencial, se tiene que

    \begin{equation*} 	f'(m) = \frac{1}{m} = \frac{\ln(b) - \ln(a)}{b - a} \end{equation*}

Esto es, el recíproco de m es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, \ln(a)) y (b, \ln(b)). Resolviendo para m, se obtiene:

    \begin{equation*} 	m = \frac{1}{f'(m)} = \frac{b - a}{\ln(b) - \ln(a)}  \end{equation*}

Esto indica que m es la media logarítmica. Por el teorema del valor medio sabemos que 1/m está en el intervalo (a,b).

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Cuando a = b, la recta secante se convierte en la recta tangente, por lo que en este caso, la media logarítmica es igual al recíproco de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = \ln(x) en x = a. Es decir, la media logarítmica de a y b cuando a = b es

    \begin{equation*} 	m = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{1/a} = a \end{equation*}

Cabe mencionar que la media logarítmica se define para números positivos (porque el dominio de la función y = \ln(x) son todos los números reales positivos), por lo que, a pesar de que m = a está definida para a = 0, al igual que para a < 0, no se suelen considerar estos valores.


El teorema del valor medio del cálculo diferencial puede usarse para justificar la regla de L’Hôpital.


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