3.4 Teorema del valor medio para el cálculo diferencial

Regla de L’Hôpital

Suponga que es necesario calcular el valor del cociente de dos funciones $y = f (x)$ y $y = g (x)$ en $x = c$ , pero ambas se hacen cero en ese punto. Suponga que $y = f (x)$ , y $y = g (x)$ son dos funciones continuas y diferenciables en $[a, b]$ , que satisfacen: $f (c) = 0$ y $g (c) = 0$ para algún $x = c \in (a, b)$ . Por el teorema del valor medio para el cálculo diferencial,

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& f(c) + (x - c)\cdot f'(x_1) \qquad \Rightarrow\qquad f(x) = (x - c)\cdot f'(x_1)\\ g(x) &=& g(c) + (x - c)\cdot g'(x_2) \qquad \Rightarrow\qquad g(x) = (x - c)\cdot g'(x_2) \end{eqnarray*}$

donde ambas, $x_{1}$ y $x_{2}$ están en el intervalo $(c,x)$ . Luego,

$\begin{equation*} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x - c)\cdot f'(x_1)}{(x - c)\cdot g'(x_2)} = \frac{f'(x_1)}{g'(x_2)} \end{equation*}$

supuesto que $g'(x_2) \neq 0$ .

A primera vista la expresión:

$\begin{equation*} \nicefrac{f(x)}{g(x)} = \nicefrac{f'(x_1)}{g'(x_2)} \end{equation*}$

parece una contradicción para $x = c$ , porque el cociente $\nicefrac{f(c)}{g(c)}$ no está definido, pero para cualquier $x \neq c$ , el cociente existe (supuesto que $g(x) \neq 0$ ). Por lo tanto, para calcular el valor potencial de $\nicefrac {f (c)} {g (c)}$ , evalúe las funciones en $x = c + dx$ y puesto que $x_1$ así como $x_2$ están en el intervalo $[c, c + dx]$ , si el cociente $f(c + dx) / g(c + dx)$ existe (porque $c \neq c + dx$ ) es el cociente de las derivadas correspondientes de cada función: $\nicefrac{f'(c)}{g'(c)}$ (siempre que $g'(c) \neq 0$ ).

Cabe mencionar que el cociente $\nicefrac{f(c)}{g(c)}$ no está definido, pero es posible que su contraparte $\nicefrac{f'(c)}{g'(c)}$ sí. Así que si es necesario calcular el valor del cociente $\nicefrac{f(x)}{g(x)}$ para valores de $x$ cercanos a $c$ , entonces el cociente se puede calcular mediante la regla de L’Hôpital.

Concepto

Regla de L’Hôpital

Sean $f$ y $g$ dos funciones definidas y diferenciables en el intervalo $[a,b]$ , y sea $c \in(a,b)$ tal que $f(c) = g(c) = 0$ y también $g'(x)\neq 0$ si $x\neq c$ . Si el cociente $L = f'(x)/g'(x)$ existe, entonces el cociente $L = f(x)/g(x)$ en $x = c$ puede ser definido como:
$\begin{equation*} L = \frac{f'(c)}{g'(c)} %= \frac{f(c)}{g(c)} \end{equation*}$

Puesto que

$\begin{equation*} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x - c)\cdot f'(x_1)}{(x - c)\cdot g'(x_2)} = \frac{f'(x_1)}{g'(x_2)} \end{equation*}$

supuesto que $g'(x_2) \neq 0$ , y cuando $x = c + dx$ , en ambas derivadas $f'(x_1)$ y $g'(x_2)$ la variable independiente $x$ es infinitamente cercana a $c$ . En consecuencia, si el problema para calcular el cociente de dos funciones es una determinación de la forma $0/0$ , calcule el cociente usando la derivada de cada función en lugar de la función misma, y defina el valor potencial de $f(x) / g(x)$ en $x = c$ como $f'(c) / g'(x)$ .

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Se establece el teorema del valor medio para el cálculo diferencial, el teorema de Rolle y la regla de L'Hôpital.

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Concepto