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3.4 Teorema del valor medio para el cálculo diferencial

Se establece el teorema del valor medio para el cálculo diferencial, el teorema de Rolle y la regla de L'Hôpital.


Regla de L’Hôpital

Suponga que es necesario calcular el valor del cociente de dos funciones y = f (x) y y = g (x) en x = c, pero ambas se hacen cero en ese punto. Suponga que y = f (x), y y = g (x) son dos funciones continuas y diferenciables en [a, b], que satisfacen: f (c) = 0 y g (c) = 0 para algún x = c \in (a, b). Por el teorema del valor medio para el cálculo diferencial,

    \begin{eqnarray*} 	f(x) &=& f(c) + (x - c)\cdot f'(x_1)	\qquad \Rightarrow\qquad f(x) = (x - c)\cdot f'(x_1)\\ 	g(x) &=& g(c) + (x - c)\cdot g'(x_2)	\qquad \Rightarrow\qquad g(x) = (x - c)\cdot g'(x_2) \end{eqnarray*}

donde ambas, x_{1} y x_{2} están en el intervalo (c,x). Luego,

    \begin{equation*} 	\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x - c)\cdot f'(x_1)}{(x - c)\cdot g'(x_2)} = \frac{f'(x_1)}{g'(x_2)} \end{equation*}

supuesto que g'(x_2) \neq 0.

A primera vista la expresión:

    \begin{equation*} 	\nicefrac{f(x)}{g(x)} = \nicefrac{f'(x_1)}{g'(x_2)} \end{equation*}

parece una contradicción para x = c, porque el cociente \nicefrac{f(c)}{g(c)} no está definido, pero para cualquier x \neq c, el cociente existe (supuesto que g(x) \neq 0). Por lo tanto, para calcular el valor potencial de \nicefrac {f (c)} {g (c)}, evalúe las funciones en x = c + dx y puesto que x_1 así como x_2 están en el intervalo [c, c + dx], si el cociente f(c + dx) / g(c + dx) existe (porque c \neq c + dx) es el cociente de las derivadas correspondientes de cada función: \nicefrac{f'(c)}{g'(c)} (siempre que g'(c) \neq 0).

Cabe mencionar que el cociente \nicefrac{f(c)}{g(c)} no está definido, pero es posible que su contraparte \nicefrac{f'(c)}{g'(c)} sí. Así que si es necesario calcular el valor del cociente \nicefrac{f(x)}{g(x)} para valores de x cercanos a c, entonces el cociente se puede calcular mediante la regla de L’Hôpital.


Concepto

Regla de L’Hôpital

Sean f y g dos funciones definidas y diferenciables en el intervalo [a,b], y sea c \in(a,b) tal que f(c) = g(c) = 0 y también g'(x)\neq 0 si x\neq c. Si el cociente L = f'(x)/g'(x) existe, entonces el cociente L = f(x)/g(x) en x = c puede ser definido como:

    \begin{equation*} 	L = \frac{f'(c)}{g'(c)} %= \frac{f(c)}{g(c)} \end{equation*}

Puesto que

    \begin{equation*} 	\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x - c)\cdot f'(x_1)}{(x - c)\cdot g'(x_2)} = \frac{f'(x_1)}{g'(x_2)} \end{equation*}

supuesto que g'(x_2) \neq 0, y cuando x = c + dx, en ambas derivadas f'(x_1) y g'(x_2) la variable independiente x es infinitamente cercana a c. En consecuencia, si el problema para calcular el cociente de dos funciones es una determinación de la forma 0/0, calcule el cociente usando la derivada de cada función en lugar de la función misma, y defina el valor potencial de f(x) / g(x) en x = c como f'(c) / g'(x).

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