3.3 Razones de cambio relacionadas

En ocasiones se requiere calcular la razón de cambio de una cantidad $y$ que depende de otra cantidad $x$ , y al mismo tiempo $x$ depende de una tercera cantidad $z$ . Para calcular la razón de cambio buscada, es necesario conocer cómo se relacionan las variables entre sí.

Ejemplo 3.3.1

La profundidad del agua en un tanque cilíndrico, de 6 pies de diámetro, aumenta 1 pie por minuto. Calcule el flujo de agua que ingresa al tanque.

El volumen del cilindro se puede calcular mediante la fórmula:

$\begin{equation*} V = \pi\,r^2\cdot h \end{equation*}$

La altura del nivel de agua en el tanque es $\nicefrac{dh}{dt} = 6\;[\mathrm{ft/min}]$ .

Como el radio del cilindro es constante, la razón de cambio del volumen es el flujo solicitado. Se puede calcular fácilmente mediante:

$\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = \pi\,r^2\cdot \frac{dh}{dt} \end{equation*}$

Evaluando en $r = 3$ piés y $\nicefrac{dh}{dt} = 1\;[\mathrm{ft/min}]$ , el resultado es:

$\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = \pi\,(3)^2\cdot (1) = 9\,\pi\;[\textrm{ft}^3/\textrm{min}] \end{equation*}$

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Se explican ejemplos de problemas que se resuelven por medio de razones de cambio relacionadas.

Ejemplo 3.3.1