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3.3 Razones de cambio relacionadas

Se explican ejemplos de problemas que se resuelven por medio de razones de cambio relacionadas.


Ejemplo 3.3.2

Una piedra que cae en un estanque genera una serie de ondas concéntricas. Si el radio de la ondulación externa aumenta de manera constante a la velocidad de 6\;[\mathtrm{ft}/\mathrm{s}], ¿con qué rapidez aumenta el área de agua perturbada al cabo de 2 segundos?

Suponga que las ondas son círculos concéntricos. El radio de la ondulación externa viene dado por r(t) = 6\, t\;[\mathrm{ft}], donde t se mide en segundos después de que la piedra tocó el agua. El área A del círculo más grande (correspondiente a la ondulación externa) está dada por:

    \begin{equation*} A(t) = \pi\,r^2 = \pi\,(6\,t)^2 = 36\,\pi\,t^2 \end{equation*}

La razón de cambio del área del agua perturbada se obtiene mediante la derivada de la función A(t) con respecto al tiempo:

    \begin{equation*} \frac{dA}{dt} = 72\,\pi\,t \end{equation*}

Evaluando en t = 2 segundos, se obtiene el valor solicitado:

    \begin{equation*} \frac{dA}{dt} = 72\,\pi\,(2) = 144\,\pi\;[\textrm{ft}^2/\textrm{s}] \end{equation*}


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