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3.2 Máximos y mínimos de funciones

Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.

Suponga que se requiere calcular la ubicación de los valores extremo (máximos y mínimos) de la función y = f (x). En esos puntos, la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal y, por lo tanto, su pendiente es cero.

Este argumento geométrico se puede aplicar algebraicamente para calcular la posición de los máximos y mínimos de cualquier función. Dado que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función se puede calcular por medio de la derivada, se deduce que si la función tiene un máximo o un mínimo en x, entonces el punto x es un punto crítico de la función y = f(x) (sin embargo, lo contrario no es generalmente cierto. Es decir, no siempre es el caso que un punto crítico corresponda a un máximo o un mínimo de la función.)

Por lo tanto, para calcular los valores extremos de una función dada, calcule primero la ubicación de sus puntos críticos. Además, los puntos críticos de la función son útiles para dibujar su gráfica.

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos

Para decidir si el punto crítico corresponde a un máximo, a un mínimo o ninguno de estos, estudie el signo de la derivada alrededor del punto crítico. Si es un máximo, entonces la función es creciente justo antes y decreciente justo después del punto crítico. Algebraicamente significa que la derivada es positiva antes del punto crítico y negativa después.

Si se trata de un mínimo, la gráfica de la función justo antes del punto crítico estaba decreciendo y justo después creciendo. Por lo tanto, la derivada de la función era negativa antes del punto crítico y positiva después. Si la derivada no cambia su signo en el punto crítico, no puede ser ni máximo, ni mínimo. Este caso se llama punto de inflexión.

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