3.2 Máximos y mínimos de funciones

Ejemplo 3.2.7

Se solicita diseñar una lata cilíndrica de aluminio con un volumen de 8 onzas ( $236.588\;\mathrm{ml}$ ) que use la cantidad mínima de material. Calcule las dimensiones de la lata.

En la siguiente figura se representan las dimensiones de la lata cilíndrica.

Como el volumen no se puede cambiar, representa una restricción de este problema.

$\begin{equation*} 8 = \pi\,r^2\,h \end{equation*}$

Y la cantidad a optimizar es el área de la superficie de la lata.

$\begin{equation*} A = 2\,\pi\,r^2 + 2\,\pi\,r\,h \end{equation*}$

Resolviendo para $h$ la ecuación de restricción y sustituyendo la expresión resultante en la ecuación de área, se obtiene la función que calcula el área dependiendo del radio:

$\begin{equation*} A(r) = 2\,\pi\,r^2 + \frac{16}{r} \end{equation*}$

Para calcular el valor de $~r~$ que hace que el área del cilindro sea mínima, calcule la derivada y resuelva la ecuación obtenida, igualando a cero la derivada:

$\begin{equation*} \frac{dA}{dr} = 4\,\pi\,r - \frac{16}{r^2} = 0 \end{equation*}$

Al resolver esta ecuación para $~r~$ , se obtiene: $r = \sqrt[3]{\nicefrac{4}{\pi}}$ . A partir de esto, se puede calcular el valor de $h$ : $h = 4 / \sqrt[3]{2\,\pi}$ .

Para verificar que este punto crítico corresponde a un mínimo, calcule la segunda derivada de la función de área del cilindro, para obtener:

$\begin{equation*} A''(r) = 4\,\pi + \frac{32}{r^3} \end{equation*}$

Como $~r~$ es el radio de la lata cilíndrica, debe ser un número positivo. Por lo tanto, $A''(r)$ evaluado en el punto crítico debe dar como resultado un número positivo. Esto indica que la gráfica de la función en el punto crítico es cóncava hacia arriba y, por lo tanto, el punto crítico corresponde a un mínimo local de la función.

Observe que la gráfica de la función $A(r)$ tiene dos términos. El primero, es $2\,\pi\,r^2$ . Cuando $~r~$ es grande, la gráfica de $A(r)$ se comporta como $y = 2\,\pi\,r^2$ (¿por qué?), y para valores pequeños la gráfica de $A(r)$ se parece a la de la función $y = 16 / r$ , y esto ocurre más conforme más uno se acerca a $r = 0$ (¿por qué?). A partir de la combinación de las gráficas de estas funciones obtenidas con los términos de la función $A(r)$ , se hace evidente que, para $r > 0$ la función tiene únicamente un punto crítico que corresponde con un mínimo.