3.2 Máximos y mínimos de funciones

Ejemplo 3.2.6

Un cuadrado de $50\;\mathrm{cm}$ de lado se utilizará para construir una caja sin tapa cortando un cuadrado en cada esquina y levantando las paredes de la caja así obtenida. Calcule la longitud del lado del cuadrado para construir la caja del mayor volumen posible.

En la siguiente figura se representa la situación del problema.

Observe que la base de la caja es un cuadrado cuyos lados miden $50 - 2\,x$ centímetros cada uno y la altura de la caja es $x$ centímetros. Por lo que el volumen $V(x)$ de la caja es:

$\begin{equation*} V(x) = (50 - 2\,x)^2\cdot x = 4\,x^3 - 200\,x^2 + 2\,500\,x \end{equation*}$

Para conocer el valor de $x$ que corresponde al volumen máximo, primero, calcule la derivada de $V(x)$ e iguale el resultado a cero:

$\begin{equation*} V'(x) = 12\,x^2 - 400\,x + 2\,500 = 0 \end{equation*}$

Las raíces de esta ecuación son $x = 25$ , y $x = \nicefrac{25}{3}$ . Del contexto, es obvio que $x = 25$ corresponde a una caja de volumen cero. Por lo que este valor corresponde a un mínimo en la gráfica de la función. El otro punto crítico $x = \nicefrac{25}{3}$ da un volumen de $V(\nicefrac{25}{3}) = \nicefrac{250\,000}{27} \approx 9259.26$ centímetros cúbicos.

Obviamente, este es el volumen máximo que puede alcanzar la caja. El criterio de la segunda derivada asegura esto:

$\begin{equation*} V''(x) = 24\,x - 400\qquad\Rightarrow\qquad V''\left(\frac{25}{3}\right) = 24\,\left(\frac{25}{3}\right) - 400 = -200 < 0 \end{equation*}$

Entonces, la longitud del lado del cuadrado que debe eliminarse de la hoja cuadrada es: $x = \nicefrac{25}{3}$ centímetros para obtener el máximo volumen.

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Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.

Ejemplo 3.2.6