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3.2 Máximos y mínimos de funciones

Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.



Ejemplo 3.2.5

Un padre compró un conejo como mascota para su hijo. Decidió construir un corral rectangular, que estará delimitado por un muro (de la casa). Tiene diez metros de cerca y quiere construir el corral con la mayor área posible. Calcule sus dimensiones.

Dado que el corral será rectangular, que x sea la longitud del lado paralelo a la pared de la casa y y la longitud de los otros dos lados. La siguiente figura puede ayudar a comprender la situación.

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La cantidad a optimizar es el área del corral y la restricción de la situación es la suma fija de las longitudes de los tres lados, igual a 10 metros. Por lo tanto, dado que x + 2\,y = 10, se sigue que y = (10 - x) / 2. Y la función que le da al área del corral es:

    \begin{equation*} 	A(x) = x \cdot y = x\cdot \left( \frac{10 - x}{2} \right) = 5\,x - \frac{1}{2}\,x^2 \end{equation*}

Para conocer el valor de x que maximiza el área del corral, calcule el máximo de la función de área. Es decir, calcule la derivada de la función y resuelva la ecuación obtenida igualando la derivada a cero.

    \begin{equation*} 	\frac{dA}{dx} = 5 - x \end{equation*}

que es cero para x = 5. Entonces, y = (10 - 5) / 2 = 2.5. Estas son las dimensiones del corral requerido: 5 metros y 2.5 metros. Para verificar que este es un máximo, calcule la segunda derivada para obtener: f'' (x) = -1. Como f ''(5) < 0, se deduce que el punto crítico corresponde a un máximo.


Observando la definición algebraica de la función A(x) = 5\,x - x^2 / 2, Es obvio que su gráfica es una parábola. Y debido a que su coeficiente cuadrático es negativo, es cóncava hacia abajo. Por lo tanto, en el punto crítico, esta función tiene un máximo.

De esta manera, con frecuencia es posible reconocer la naturaleza de los valores extremos de una función dada. Si es un polinomio de segundo grado, entonces el signo del término cuadrático indica si su gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. A partir de esa información, es fácil ver si el punto crítico de la función es un máximo o un mínimo. Básicamente, esta es la idea detrás del criterio de la segunda derivada.


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