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3.2 Máximos y mínimos de funciones

Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.


Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

Considere la derivada de y = f(x) como otra función, y = f'(x). Es posible calcular su derivada. Los valores de la derivada de f'(x), conocida como la segunda derivada de y = f (x), indica la razón de cambio de la derivada, es decir, indican si la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función está aumentando o disminuyendo.

Si la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función disminuye a medida que x crece, es cóncava hacia abajo. Si la pendiente aumenta para x creciente, la gráfica de la función es cóncava hacia arriba, como se muestra en la siguiente figura.

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Observe que si hay un punto crítico en un intervalo para el cual y''(x) < 0, entonces debe ser un máximo. Y considerando el signo de la derivada, es positivo antes del punto crítico, y justo después, se vuelve negativo (el valor de la derivada está disminuyendo).

El otro caso, para y''(x) > 0 implica que la primera derivada de la función está aumentando. Por lo tanto, si hay un punto en el intervalo tal que y '(x) = 0, la derivada antes fue negativa y después de ella, fue positiva, lo que corresponde a un mínimo.

¿Qué ocurre si f''(x) = 0 exactamente en el punto crítico? Significa que aunque la derivada se hace cero, no cambia su signo: si fue positiva justo antes del punto crítico, sigue siendo positiva justo después de ella, y si fue negativa justo antes del punto crítico, todavía es negativa justo después de ella. En este caso, el punto crítico es un punto de inflexión. Esto se sintetiza como el criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.


Teorema 3.2.1

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

Sea x_0 un punto crítico de la función y = f(x).

  • Si f''(x_0) > 0 entonces la función tiene un mínimo en x = x_{0}.
  • Si f''(x_0) < 0 entonces la función tiene un máximo en x = x_{0}.
  • Si f''(x_0) = 0 entonces la función tiene un punto de inflexión en x = x_{0}.


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