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3.2 Máximos y mínimos de funciones

Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.



Ejemplo 3.2.3

Una función polinómica cuadrática satisface f(-1) = 3, f(0) = 5, y f(1) = 4. Calcule su máximo valor.

Suponga que la función es y = f(x) = a\,x^2 + b\,x + c. La sustitución de los valores conocidos para la función implica:

    \begin{eqnarray*} 	3 &=& a\,(-1)^2 + b\,(-1) + c	\qquad\Rightarrow\qquad 3 = a - b + c\\ 	5 &=& a\,(0)^2 + b\,(0) + c	\qquad\Rightarrow\qquad 5 = c\\ 	4 &=& a\,(1)^2 + b\,(1) + c	\qquad\Rightarrow\qquad 4 = a + b + c \end{eqnarray*}

La solución de este sistema de ecuaciones lineales da: c = 5, a = - 3/2, y b = 1/2. Por lo tanto, ahora se conoce la función cuadrática:

    \begin{equation*} 	y = f(x) = -\frac{3}{2}\,x^2 + \frac{1}{2}\,x + 5 \end{equation*}

Dado que el signo del término cuadrático es negativo, la gráfica de la función es una parábola cóncava hacia abajo y, por lo tanto, solo tiene un máximo. Las coordenadas de su punto crítico pueden calcularse fácilmente igualando su derivada a cero y resolviendo para x:

    \begin{equation*} 	f'(x) = \frac{dy}{dx} = -3\,x + \frac{1}{2} = 0 		\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{1}{6} \end{equation*}

Para verificar que este punto crítico corresponde a un máximo local, observe que f'(x) > 0 para x < 1/6. Por ejemplo, si x = -1 evaluando en la derivada se obtiene f'(-1) = 7/2, por lo que la función es creciente para x < 1/6. Por otra parte, f'(x) < 0 para x > 1/6. Por ejemplo, f'(1) = -5/2. Es decir, la función es decreciente para x > 1/6. Como la función aumenta antes del punto crítico y luego disminuye, corresponde a un máximo local. Para calcular la coordenada y del máximo de esta parábola, solo evalúe la función en el punto crítico x = 1/6:

    \begin{equation*} 	f\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{3}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right) + 5 		= \frac{121}{24} \end{equation*}

Es decir, el vértice de la parábola se encuentra en (1/6 , 121/24).



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