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3.2 Máximos y mínimos de funciones

Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.




Ejemplo 3.2.2

Un segmento de longitud a\;[\mathrm{cm}] se debe dividir en dos partes para que el cuadrado de la longitud de la primera parte agregada al producto de p por el cuadrado de la longitud de la otra parte sea mínimo (suponga que p > 0).

Sea \overline{AB} el segmento y M el punto de división ubicado a x unidades de A. La distancia desde M hasta B es entonces a - x. La siguiente figura muestra la situación.

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El problema indica que se debe minimizar:

    \begin{equation*} 		f(x) = x^2 + p\,(a - x)^2 \end{equation*}

Esta función tiene un mínimo porque su gráfica es cóncava hacia arriba (¿por qué?) Para calcular su mínimo, calcule la derivada de la función y resuelva después de igualarla a cero:

    \begin{eqnarray*} 	f'(x) &=& 2\,x - 2\,p(a - x) = 0	\\ 	&& 2\,x - 2\,pa + 2\,px = 0\\ 	&& 2\,x\,(1 + p) = 2\,pa\\ 	&& x = \frac{pa}{1 + p} \end{eqnarray*}

Verifique este resultado numéricamente suponiendo a = 10 y p = 2.



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