3.2 Máximos y mínimos de funciones

Ejemplo 3.2.2

Un segmento de longitud $a\;[\mathrm{cm}]$ se debe dividir en dos partes para que el cuadrado de la longitud de la primera parte agregada al producto de $p$ por el cuadrado de la longitud de la otra parte sea mínimo (suponga que $p > 0$ ).

Sea $\overline{AB}$ el segmento y $M$ el punto de división ubicado a $x$ unidades de $A$ . La distancia desde $M$ hasta $B$ es entonces $a - x$ . La siguiente figura muestra la situación.

El problema indica que se debe minimizar:

$\begin{equation*} f(x) = x^2 + p\,(a - x)^2 \end{equation*}$

Esta función tiene un mínimo porque su gráfica es cóncava hacia arriba (¿por qué?) Para calcular su mínimo, calcule la derivada de la función y resuelva después de igualarla a cero:

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 2\,x - 2\,p(a - x) = 0 \\ && 2\,x - 2\,pa + 2\,px = 0\\ && 2\,x\,(1 + p) = 2\,pa\\ && x = \frac{pa}{1 + p} \end{eqnarray*}$