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3.2 Máximos y mínimos de funciones

Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.




Ejemplo 3.2.1

Calcular todos los máximos y mínimos de la función y = x^2 - 2\,x - 8.

Primero, observe que la gráfica de la función es una parábola, por lo que tiene exactamente un máximo o un mínimo. La derivada de la función es:

    \begin{equation*} 	f'(x) = 2\,x - 2 \end{equation*}

El único punto crítico de esta función está en x = 1 (ver el ejemplo 3.1.1). Justo antes del punto crítico, la derivada es negativa (sustituya cualquier valor menor que 1 en la derivada para verificar esto) y justo después del punto es positiva (nuevamente, evalúe la derivada para algún x > 1). Por lo tanto, el punto crítico corresponde a un mínimo.

Evaluando la función en x = 0 se obtiene y(0) = -8. Dado que

    \begin{equation*} 	f(1) = (1)^2 - 2\,(1) - 8 = - 9 \end{equation*}

el vértice de la parábola está en (1,-9). Observe que y = x^2 - 2\,x - 8 = (x + 2)(x - 4), por lo que las raíces de la función son x = -2 y x = 4.

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