3.2 Máximos y mínimos de funciones

Ejemplo 3.2.9

Un punto en el círculo unitario con centro en el origen (para $x> 0$ y $y> 0$ ) será un vértice de un rectángulo cuyos dos lados están sobre los ejes de coordenadas. Calcule las coordenadas del vértice del rectángulo de área más grande.

La situación se representa en la figura.

Como el punto $P (x, y)$ está en el círculo unitario, satisface:

$\begin{equation*} x^2 + y^2 = 1 \qquad\Rightarrow\qquad y = \sqrt{1 - x^2} \end{equation*}$

Y el área del rectángulo viene dada por:

$\begin{equation*} A(x) = x\cdot \sqrt{1 - x^2} \end{equation*}$

Para calcular el valor máximo posible para el área, calculemos los valores extremos de $A(x)$ . La derivada de la función es:

$\begin{eqnarray*} \frac{dA}{dx} &=& -\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} + \sqrt{1 - x^2} %\\ = -\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \\ &=& \frac{-x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} %\\ = \frac{1 - 2\,x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \end{eqnarray*}$

Igualando esta expresión a cero y resolviendo para $x$ se obtiene:

$\begin{equation*} 1 - 2\,x^2 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x^2 = \frac{1}{2} \qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation*}$

Dado que la restricción del problema indica que solo los valores positivos para $x$ son factibles para una solución. Por lo tanto, la base del rectángulo tiene longitud $1/\sqrt{2}$ y su altura es:

$\begin{equation*} y = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation*}$

Como ambos, la base y la altura tienen la misma longitud, el rectángulo es un cuadrado.

Observe que el denominador de $A'(x)$ es siempre positivo, de manera que el signo de $1 - 2\,x^2$ indica el comportamiento de $A(x)$ . Observe que puesto que $1 - 2\,x^2$ es positivo para $0< x < 1/\sqrt{2}$ , y se hace negativo para $x > 1/\sqrt{2}$ , la función es creciente desde $x = 0$ hasta $x = 1/\sqrt{2}$ , y disminuyendo después. Por lo tanto, el punto crítico es un máximo.