Ejemplo 3.2.9
Un punto en el círculo unitario con centro en el origen (para y
) será un vértice de un rectángulo cuyos dos lados están sobre los ejes de coordenadas. Calcule las coordenadas del vértice del rectángulo de área más grande.
La situación se representa en la figura.
Como el punto está en el círculo unitario, satisface:
Y el área del rectángulo viene dada por:
Para calcular el valor máximo posible para el área, calculemos los valores extremos de . La derivada de la función es:
Igualando esta expresión a cero y resolviendo para se obtiene:
Dado que la restricción del problema indica que solo los valores positivos para son factibles para una solución. Por lo tanto, la base del rectángulo tiene longitud
y su altura es:
Como ambos, la base y la altura tienen la misma longitud, el rectángulo es un cuadrado.
Observe que el denominador de es siempre positivo, de manera que el signo de
indica el comportamiento de
. Observe que puesto que
es positivo para
, y se hace negativo para
, la función es creciente desde
hasta
, y disminuyendo después. Por lo tanto, el punto crítico es un máximo.
Ejercicios: A partir de la página 52 del documento al que se puede acceder aquí.
Add a note