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3.2 Máximos y mínimos de funciones

Se ejemplifica el cálculo de máximos y mínimos de funciones de una variable aplicando criterio de la primera derivada y de la segunda derivada.


Para simplificar la interpretación del resultado numérico al final de cada problema, generalmente es conveniente utilizar el sistema internacional de unidades, de modo que la conversión entre unidades se realice fácilmente y la interpretación del resultado sea inmediata.


Ejemplo 3.2.8

Inscriba el cilindro de mayor volumen dentro de un cono recto dado.

Suponga que la altura y el radio del cono son H y R, respectivamente. Ubique el vértice del cono en el origen de un conjunto de ejes de coordenadas rectangulares como se muestra en la figura.

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Sea h la altura del cilindro y ~r~ su radio. El volumen del cilindro es:

    \begin{equation*} 	V = \pi\,r^2\,h \end{equation*}

La altura del cilindro es: h = H - x. La ecuación de la generatriz del cono es:

    \begin{equation*} 	y = \frac{R}{H}\,x \end{equation*}

El punto (x, r) está en la generatriz del cono y, por lo tanto, el volumen del cilindro inscrito es:

    \begin{equation*} 	V = \pi\,r^2 h 		= \pi\left(\frac{R}{H}\,x\right)^2(H - x) 		= \frac{\pi\,R^2}{H^2}\,x^2(H - x) \end{equation*}

Para calcular el volumen máximo del cilindro sujeto a esta restricción, calculemos la derivada de la función de volumen:

    \begin{equation*} 	\frac{dV}{dx} = \frac{2\,\pi\,R^2}{H^2}\,x\,(H-x) - \frac{\pi\,R^2}{H^2}\,x^2 \end{equation*}

Iguale esta expresión a cero y resuelva para x:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{2\,\pi\,R^2}{H^2}\,x\,(H-x) &=& \frac{\pi\,R^2}{H^2}\,x^2	\qquad\Rightarrow\\ 	2\,x\,H - 2\,x^2 &=& x^2	\qquad\Rightarrow\\ 	2\,x\,H - 3\,x^2 &=& 0 \end{eqnarray*}

De aquí que, x = 0, o x = 2\,H / 3. Por lo tanto, las dimensiones del cilindro de volumen máximo son:

    \begin{eqnarray*} 	h &=& H - x = H - \frac{2\,H}{3} = \frac{H}{3}\\ 	r &=& \frac{R}{H}\,x = \frac{R}{H}\cdot\frac{2\,H}{3} = \frac{2\,R}{3} \end{eqnarray*}



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