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3.1 Puntos críticos de funciones

Se define el concepto de punto crítico de una función. Se ejemplifica su cálculo con varios ejemplos concretos y se aplican para el análisis cualitativo de funciones de una variable.

Considerando que $dx \neq 0$ es una cantidad positiva infinitamente pequeña, según la definición de la derivada,

$\begin{equation*} f'(x) = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} = \frac{dy}{dx} \end{equation*}$

$f'(x)$ tiene el signo de $dy = f(x + dx) - f(x)$ . Si $f'(x) > 0$ , entonces $dy = f(x + dx) - f(x) > 0$ . Esto implica que $f(x + dx) > f(x)$ , esto es, la función es creciente en el punto $x$ . Por otra parte, si $f'(x) < 0$ , entonces $dy = f(x + dx) - f(x) < 0$ . Esto implica que $f(x + dx) < f(x)$ . En palabras, la función está disminuyendo en el punto $x$ . Finalmente, si $f'(x) = 0$ , en ese punto $x$ la función satisface: $f(x + dx) = f(x)$ . Para cualquier función diferenciable, implica que en el punto $x$ , se comporta como una función constante. En otras palabras, el valor de la función no cambia para incrementos infinitamente pequeños en la variable independiente $x$ en el punto donde $f'(x) = 0$ . Gráficamente, la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal en todos los puntos donde $f'(x) = 0$ .

Punto crítico

Los puntos críticos de la función $y = f(x)$ son aquellos puntos $x$ en donde $f'(x) = 0$ .

Para calcular los puntos críticos de la función $y = f(x)$ , es necesario resolver la ecuación: $f'(x) = 0$ .

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