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3.1 Puntos críticos de funciones

Se define el concepto de punto crítico de una función. Se ejemplifica su cálculo con varios ejemplos concretos y se aplican para el análisis cualitativo de funciones de una variable.

Considerando que dx \neq 0 es una cantidad positiva infinitamente pequeña, según la definición de la derivada,

    \begin{equation*} 	f'(x) = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} = \frac{dy}{dx} \end{equation*}

f'(x) tiene el signo de dy = f(x + dx) - f(x). Si f'(x) > 0, entonces dy = f(x + dx) - f(x) > 0. Esto implica que f(x + dx) > f(x), esto es, la función es creciente en el punto x. Por otra parte, si f'(x) < 0, entonces dy = f(x + dx) - f(x) < 0. Esto implica que f(x + dx) < f(x). En palabras, la función está disminuyendo en el punto x. Finalmente, si f'(x) = 0, en ese punto x la función satisface: f(x + dx) = f(x). Para cualquier función diferenciable, implica que en el punto x, se comporta como una función constante. En otras palabras, el valor de la función no cambia para incrementos infinitamente pequeños en la variable independiente x en el punto donde f'(x) = 0. Gráficamente, la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal en todos los puntos donde f'(x) = 0.


Punto crítico


Los puntos críticos de la función y = f(x) son aquellos puntos x en donde f'(x) = 0.

Para calcular los puntos críticos de la función y = f(x), es necesario resolver la ecuación: f'(x) = 0.


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