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3.1 Puntos críticos de funciones

Se define el concepto de punto crítico de una función. Se ejemplifica su cálculo con varios ejemplos concretos y se aplican para el análisis cualitativo de funciones de una variable.



Ejemplo 3.1.5

Indica los intervalos para los cuales la función y = x^2 + \nicefrac{1}{x} crece o decrece.

Debido a que la función no está definida en x = 0, el eje y es una asíntota vertical de la gráfica de la función. Además, para x = -1 la función es cero, de modo que la gráfica de la función pasa por el punto (- 1,0). Ahora, para x < -1, la función es positiva,
porque x^2 > \frac{1}{x} para |x| > 1. La derivada de esta función es:

    \begin{equation*} 	f'(x) = \frac{dy}{dx} = 2\,x - \frac{1}{x^2} \end{equation*}

Si f'(x) = \nicefrac{dy}{dx} > 0, entoces dy > 0, y la función está creciendo en ese punto. En consecuencia,

    \begin{eqnarray*} 	2\,x - \frac{1}{x^2} &>& 0 \quad\Rightarrow\\ 	2\,x &>& \frac{1}{x^2}	\quad\Rightarrow\\ 	x^3 &>& \frac{1}{2}	\quad\Rightarrow\\ 	x &>& \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}

Por otra parte, f'(x) < 0 para x < \nicefrac{1}{\sqrt[3]{2}} por lo que la función es decreciente para x \in (-\infty, \nicefrac{1}{\sqrt[3]{2}}). Esta función tiene un único punto crítico en x = \nicefrac{1}{\sqrt[3]{2}}. La recta tangente a la gráfica de la función
en ese punto es una recta horizontal. La gráfica de esta función es como se muestra.

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